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問題) By using the substitution u = 2x - 1 , or otherwise, find ∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx

これを私流に計算していくと 

∫(2x)/(2x - 1) ^2  du/2 

1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du

1/2 ∫ ( u ^ -1 + u ^ -2) du

ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c  となっていいのでしょうか?

それとも 1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du  となり
1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか?

A 回答 (3件)

u = 2x - 1


du=2dx ⇒ dx=(1/2)du
2x=u+1
より

I=∫(2x)/(2x - 1) ^2 dx=∫(u+1)/u^2 (1/2)du

>これを私流に計算していくと 

>∫(2x)/(2x - 1) ^2  du/2 ←同じ積分の式では1つの積分変数しか使っては使っていけないよ。 

>1/2 ∫ (u+1) (u^ -2) du
I=(1/2) ∫ (u+1) u^(-2) du

>(1/2) ∫ ( u ^-1 + u ^-2 ) du
I=(1/2) ∫ ( u ^(-1) + u ^(-2) ) du

>ここで途中計算の質問なのですがこれを積分すると
>1/2[ u ^0 - (u ^ -1)] + c →1/2 [ - (u ^ -1)] + c  となっていいのでしょうか?
これは間違いです。↑

>それとも 1/2 ∫ ( 1/u + u ^ -2) du  となり
I=(1/2) ∫((1/u) +(1/u^2)) du

>1/2 ( ln l u l - u ^ -1) + c と続いていくのでしょうか?
I=(1/2) ( ln |u| - (1/u) ) + c
これ↑なら合っているよ。
後はu=2x-1を代入してもとの変数xに戻せば良いです。
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この回答へのお礼

わかりました、助かりました。
途中計算での間違い指摘も有難うございます。

お礼日時:2014/09/18 17:26

質問の趣旨は公式



∫(u^n)du=u^(n+1)/(n+1)+C

がn=-1のとき成り立つかということだと思いますが、結論は成り立ちません。

分母の定数(n+1)が0になって式が無意味になっていることからも明らかです。

n=-1のとき、すなわちu^(-1)=1/uのときは

∫(u^n)du=∫(1/u)du=log|u|+C

です。
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この回答へのお礼

よくわかりました、教えて下さって有難うございます。

お礼日時:2014/09/18 17:24

∫ (u ^ -1) du = u ^ 0 + c



∫ (u ^ -1) du = ln | u | + c
と,どちらが正しいかは積分の公式集にも出ていると思うぞ。
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この回答へのお礼

「積分の公式集」 で検索してみるといっぱい出てきました。
こうゆうのがあるのも知りませんでした。
勉強になります、有難うございました。

お礼日時:2014/09/18 17:22

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