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A=x^2-3x-a、B=ax^2+x+1
ABを展開した整式をaについて整理するとき、aの1次の項の係数は
x^4-■x^3-x-■である。

■にあてはまる数字を入れるのですが、計算過程がわかりません。
(x^2-3x-a)(ax^2+x+1)
=X^2×ax^2+x^2(x+1)--3x×ax^2-3x(x+1)-a×ax^2-a(x+1)
として計算していきましたが、答えが全然違いました。
カッコの中の項が3つあり、さらにまとめられそうなものがなくて全然わかりません。

わかりやすく解説して頂きたいです。

A 回答 (4件)

全部まじめに展開しなくても、aについて一次の項だけ


考えればいいのです(まじめにやってももちろん構いません)。
Aに含まれる項は
(1)x^2
(2)-3x
(3)-a
の三つです。一方Bに含まれる項は
(あ)ax^2
(い)x
(う)1
の三つです。
(1)から(3)の中の一つと、(あ)から(う)の中の一つを
選んでその積を計算するとき、aの次数が1次になるのは
(1)と(あ)→ax^4
(2)と(あ)→-3ax^3
(3)と(い)→-ax
(3)と(う)→-a
の4通りです。従ってAとBの積からaの一次の項だけ抜き出すと
ax^4-3ax^3-ax-a=a(x^4-3x^3-x-1)
となり、aの係数は
x^4-3x^3-x-1
です。
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この回答へのお礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございました。
全部展開しなくても良いんですね!
納得できました。

お礼日時:2014/09/25 14:35

A = x^2 - 3x - a


B = ax^2 + x + 1

ABをaについて整理して、aの1次の項の係数を求める、
ということは、
Aからaの付いた項を選択し、かつ、Bからaの付かない項を選択する。 ... (1)
Aからaの付かない項を選択し、かつ、Bからaの付いた項を選択する。 ... (2)

(1)
-a

x + 1
より、-(x + 1)a

(2)
x^2 - 3x

ax^2
より、(x^4 - 3x^3)a

∴x^4 - 3x^3 - x - 1
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この回答へのお礼

わかりやすい解説をありがとうございました。
納得できました。

お礼日時:2014/09/25 14:34

ABを展開した整式をaについて整理するとき、


aを変数としてxは定数としてみるといいですよ。
すると、ABはaについて2次式になりますね。

質問者さんのように、AとBに全てを代入して一気に計算しないで
計算結果を予想して変数aがつくものを考えると楽ですよ。

aの2次の項は-a*ax^2
ですね。(*は乗算)

aの1次の項の一つは-a*(x+1)
もう一つは(x^2-3x)*ax^2
です。

ここで、問題はaの1次の項の係数を求めるのだから、

aの1次の項の係数=-(x+1)+(x^2-3x)x^2=x^4-3x^3-x-1

となります。

よって、最初の■は3で、後の■は1です。

質問者さんの途中式をaについてまとめると同じ結果になりますよ。
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この回答へのお礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございました。
納得できました!

お礼日時:2014/09/25 14:35

慣れていればいきなりaの係数を出せるが、ここでは式の展開からやる。



(x^2-3x-a)(ax^2+x+1)=-[a-(x^2-3x)][x^2a+(x+1)]

=-{x^2a^2+[(x+1)-x^2(x^2-3x)]a-(x^2-3x)(x+1)}

=-x^2a^2-[(x+1)-x^2(x^2-3x)]a+(x^2-3x)(x+1)

=-x^2a^2+[x^2(x^2-3x)-(x+1)]a+(x^2-3x)(x+1)}


aの1次の項の係数は

x^2(x^2-3x)-(x+1)=x^4-3x^3-x-1
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この回答へのお礼

とてもわかりやすい解説をありがとうございました。
展開式もとてもわかりやすかったです。
展開式と展開しない方法、両方勉強します。

お礼日時:2014/09/25 14:36

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