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∫【0、∞】xe^(-x)dxを解いてください。

gooドクター

A 回答 (3件)

質問者さんの前の質問のANo.2で解答済みです。



同じ解答を
再掲します。

∫[0,∞] xe^(-x) dx
=lim(A→∞)∫[0,A] xe^(-x) dx
=lim(A→∞) [-xe^(-x)][0,A]+∫[0,A] e^(-x) dx
=lim(A→∞) [-xe^(-x)-e^(-x)][0,A]
=lim(A→∞) -A/e^A-e^(-A)+e^0
=lim(A→∞) -A/e^A -lim(A→∞) e^(-A) +1
=lim(A→∞) -A/e^A -0 +1
=1-lim(A→∞) A/e^A ← ∞/∞型なのでロピタルの定理を適用する
=1-lim(A→∞) 1/e^A
=1-0
=1 …(答)
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この回答へのお礼

ロピタルの定理を適用するのですか。
ありがとうございます。

お礼日時:2014/09/24 21:53

広義積分の部分積分を使います。



I=∫【0、∞】xe^(-x)dx=lim(y→∞)∫【0、y】xe^(-x)dx

∫【0、y】xe^(-x)dx=[x(-e^(-x))](0,y)-∫【0、y】(-e^(-x))dx

=ye^(-y)+∫【0、y】e^(-x)dx

=ye^(-y)[-e^(-y)](0,y)

=ye^(-y)-e^(-y)+1

I=∫【0、∞】xe^(-x)dx=lim(y→∞)[ye^(-y)-e^(-y)+1]=1
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この回答へのお礼

詳解ありがとうございました。

お礼日時:2014/09/24 21:51
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2014/09/24 21:54

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