F(s) = exp(-k*√s)/s^2 の逆ラプラス変換について手順も含めご教示ください。

上式の逆ラプラス変換を解くため、
以下の公式を使用して解けないか模索していますがうまくいきません。
下記以外の公式による方法でもよいですが、その場合は公式についてもご教示ください。
よろしくお願いいたします。

L^(-1)[exp(-k√s)/s]=erfc( k/(2√t) )
F(s)/s=L[∫_{0→t} f(t) dt]

を使ってできないか試みてますが、
余誤差関数erfc()または,公式erfc(y)=1-erf(y)で変換した誤差関数の積分が出来ずに躓きました。

A 回答 (4件)

F(s) = exp(-k*√s)/s^2において


合成積の公式を用いると・・・、
g(s)の逆ラプラス変換をinvL{g(s)}で表し、G(t)をg(s)の原関数とすれば
inv{g(s)/s^2} = ∫[0→t]∫[0→τ]{G(p)}dpdτ
= t・∫[0→t]{G(τ)}dτ-∫[0→t]{τG(τ)}dτ
・・・と表せる。

invL{exp(-k*√s)/s^2}
= t・∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ-∫[0→t]{(kτ/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ
= t・∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ-∫[0→t]{(k/2(√(πτ)))exp(-k^2/4τ)}dτ

∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτでk/2√τ = xとでも置くと一項目の積分は
(2t/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx = (2t/√π)・erfc(k/2√t)

2項目の積分は部分積分の計算から
(k^2/2√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)/x^2}dx
= (k^2/2√π)・{(2√t/k)・exp(-k^2/4t)-2erfc(k/2√t)}

よって
invL{exp(-k*√s)/s^2}
= (2t/√π)・erfc(k/2√t)-(k^2/2√π)・{(2√t/k)・exp(-k^2/4t)-2erfc(k/2√t))
= (2t/√π)・erfc(k/2√t)+(2k^2/√π)erfc(k/2√t)-(k√(t/π))・exp(-k^2/4t)

・・・となった。(計算ミスが無ければ!?)

invL{exp(-k*√s)} = (k/2(√(πt^3)))・exp(-k^2/4t)を用いた
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
導出方法が分かりました。助かります。
答えは、Wolfram aphaで計算すると以下のようになります。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=InverseLapl …

ご教示頂いた式では余誤差関数の定義より
(2t/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx
  = t・{(2/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx }=t・erfc(k/2√t)
のみ修正するとWolfram aphaと全く同じになります。

お礼日時:2014/09/27 13:03

証明は


http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kobayashi/lt. …
の例5.2にあります。
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(2)式は、次のラプラス変換表4-1の(9)式です。


http://ceram.material.tohoku.ac.jp/~kamegawa/lec …
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この回答へのお礼

早速のご回答を頂きありがとうございます。
この公式は、どのように導き出したかご存知でしょうか。
導き出し方をご教示頂けないでしょうか。
非常にすっきりした形であり、小生が示した公式のように特殊関数を使用しないで済むので助かります。
小生が質問欄に記載した公式は以下のリンクにあるものです。
自分自身でもそうなることを確認済みですが、そうすると。
(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))=erfc( k/(2√t) )
が成り立つことになるのですが、これはどのように証明できるのでしょうか。

www.rinku.zaq.ne.jp/bkdit405/buturi/apma1.pdf
このファイルのP26

www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~yamasita/inverse-Laplace.pdf
このファイルの21式

お礼日時:2014/09/26 23:08

最後は指数関数の積分と云う形に成り、積分できずに終わるようです。



参考までに、計算例です

F(s) = exp(-k*√s)/s^2        (1)

L^(-1)[ exp(-k√s)/s]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t)) (2)

(1)式より s F(s) – f(0) = exp(-k*√s)/s – f(0)

逆変換の公式(2)より
L^(-1)[sF(s)-f(0)]= df(t)/dt
L^(-1)[exp(-k√s)/s – f(0)]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))– f(0)δ(t)

よって」
df(t)/dt = 1/√(πt))*exp(-k^2/(4t)) – f(0)δ(t)

f(t) =∫ exp(-k’/t)/ √t)dt/√π - f(0)
  ここにk’=(k/2)^2
積分範囲0~t
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この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。嬉しいです。
ラプラス変換の微分公式を使う手があったんですね。勉強になります。
小生理解不足で申し訳ありません。
上の(2)式について教えてください。

小生質問に記載したL^(-1)[exp(-k√s)/s]=erfc( k/(2√t) )ではなく

L^(-1)[ exp(-k√s)/s]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))
となるのはなぜなのかご教示頂ければ嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2014/09/26 18:39

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Qan=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√

an=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√(2k+1))のとき、
lim[n->∞](bn/an)を求めよ。


次のように考えましたが、行き詰まりました。
  1/√2Σ[k=1->n](1/n)*[1/√{(k+1)/n}]÷ Σ[k=1->n](1/n)*{1/√(k/n)} <(bn/an)<1/√2
左辺の式で、区分求積法から、lim[n->∞]としたとき、分母は2となったのですか。
分子に区分求積法が使える形でないと判断し、行き詰まりました。
1つはこの流れの解法でいいのか。もし、よかったら、このあとの処理はどうなるのか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定積分を利用する方法があります。

anを、定積分∫[1,n+1]dx/√x, ∫[0,n]dx/√x で、
bnを、定積分∫[1,n+1]dx/(2x+1), ∫[0,n]dx/(2x+1) で押さえ、

A≦an≦B
C≦bn≦D

とし、A/D≦an/bn≦B/C
これで、n→∞ とすればいい。

QDf(t)=λf(t),それからf'(t)/f(t)=λ。何故我々はf(t)で割る事ができるのか

お世話になっております。

[Problem]We know that the set of eigenvecors x for A is defined as those vectors which,when multiplied by A,result in a scaling λ of x.Thus,Ax=λx.Given differentiation operator D,then Df(t)=λf(t),then f'(t)/f(t)=λ.Why can we devide by f(t).
「我々はAで掛けられた時,Aに対する固有ベクトルxの集合がこれらのベクトルとして定義されていてその結果xの尺度構成となる事を知っている。従ってAx=λx.微分演算子Dが与えられた時,Df(t)=λf(t),それからf'(t)/f(t)=λ。何故我々はf(t)で割る事ができるのか」

という問題なのですがさっぱり何をすればいいのかわかりません。
どなたかお助けください。

Aベストアンサー

f'(t)/f(t)=λ の「 = 」は、各 t についての等式で、
それが或る範囲内の任意の t について成立するという
意味の「 ∀t 」が、この式では省略されています。
別段、関数を関数で割っている訳ではありません。

任意のベクトル空間の場合にも、基底の添え字を k とすれば、
y=λx のとき、各 k-成分に関して y_k / x_k = λ と
書くことができますが、それを、ベクトルをベクトルで割った
とは呼ばないというだけのことです。やっている事は同じです。

関数 f, g, h について、∀t, g(t)/f(t)=h(t) を
関数としての除算 g/f=h の定義にしてしまうことは、
よく行われています。

その意味で f'(t)/f(t)=λ と書いているのだとすれば、
割ることができる理由は、そのように除算を定義したから
と言うしかありません。

Q1=√1=√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)=i・i=-1

1=√1=√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)=i・i=-1
∴ 1=-1

は明らかにおかしいですが具体的にはどこがおかしいのでしょうか?

色々調べてみたところ,

√(-1)(-1)=√(-1)√(-1)

というところがおかしいみたいで,「√(ab)=√a√b」が成り立つのは,"a,b≧0"のときだけということまではわかりました.
なので上のような変形はできないとのことです.

では,a≧0,b<0のときはどうなのでしょうか?

つまり,a≧0を実数として,

√(-a)=√(-1)a=√(-1)√a=i√a

はなぜ大丈夫なのでしょうか?

上の議論だと,-1<0なので「√(ab)=√a√b」が適用できず,単純に

√(-1)a=√(-1)√a

としていいのだろうかと感じました.

それとも他の場所でしてはならないことをしていたのでしょうか?

混乱してしまったので教えてください.

Aベストアンサー

√(-a) = √(-1) √a は、いろいろと論点を含んだ式です。

まず、等式の成立不成立以前に、両辺がそれぞれ示す値が特定できない。
-a の平方根も、-1 の平方根も、複素数の範囲で2個づつ在り、
√(-a) や √(-1) という書き方では、そのどちらを示しているのか
判断することができません。
それを踏まえて、2通り×2通り=計4通りの式の意味のうち、
2個は成立し、2個は成立しないのです。

この事情は、1 = √(-1) √(-1) = -1 の時と全く同じです。
違うのは、1 = √(-1) √(-1) を満たすような2個の
√(-1) の選び方と
√(-1) √(-1) = -1 を満たすような2個の
√(-1) の選び方に
共通のものが無いため、全体として 1 = √(-1) √(-1) = -1 を満たす

√(-1) の値の選び方の組が存在しないのに対して、
√(-a) = √(-1) √a のほうには、式が成立するような
√(-a) と √(-1) の値の選び方が存在するということです。
だから、ある意味「大丈夫」だとも言えます。

しかし、√(-a) = √(-1) √a が「成立する」と言うときに、
式が成立するような √(-a) と √(-1) の選択が在ることを言っているのか、
√(-a) と √(-1) の任意の選択に対して成立することを言っているのか、
その辺がハッキリしません。
前者の意味では大丈夫であり、後者の意味では大丈夫ではないのですが。

また、√a も伏兵です。a が非負実数なので、ウッカリしていると、
√a は a の平方根のうち正のほうで問題ないような気がしてしまいますが…
√(-a) = √(-1) √a は、両辺が虚数となる式なので、
√a の √ も、複素平方根関数を意味しているのかもしれません。

複素 √z の z に、たまたま正の実数値が代入されたときだけ
突如多価でなくなって、正のほうの値だけを表すというのも、
連続性や微分可能性の意味で問題ある解釈です。

探せば、まだまだ問題点が見つかりそうです。
要するに、多様な解釈を許してしまいそうな、記号法に説明力の足りない式を、
式だけ書きっぱなしにして注釈を添えなかったことに、問題があったのです。
数式は、数学文の一部に過ぎませんから、一般に、式だけで完結させようと
がんばらないで、意図が十分伝わるように、注釈を書き添えたほうがよいのです。

√(-a) = √(-1) √a は、いろいろと論点を含んだ式です。

まず、等式の成立不成立以前に、両辺がそれぞれ示す値が特定できない。
-a の平方根も、-1 の平方根も、複素数の範囲で2個づつ在り、
√(-a) や √(-1) という書き方では、そのどちらを示しているのか
判断することができません。
それを踏まえて、2通り×2通り=計4通りの式の意味のうち、
2個は成立し、2個は成立しないのです。

この事情は、1 = √(-1) √(-1) = -1 の時と全く同じです。
違うのは、1 = √(-1) √(-1) を満たすような2個の
√(-1) の選...続きを読む

QAB=√3、AC=√2、COSA=1/√6のような△BCにおいて

AB=√3、AC=√2、CosA=1/√6のような△ABCにおいて、AB→=b→、AC→=c→とし、頂点Aから対辺BCに引いた垂線をADとするとき、AD→をb→、c→で表せ。 また垂心をHとして、AH→をb→、c→で表せ。


この問題、途中までとけましたけど、最後がとけませんでした。。

BD:DC=K:(1-K)とおき、
AD⊥BCからKの値を求めるやりかたで
AD=(1-K)√3+K√2 OR AD=(1-K)b+kc
BC=CA+AB⇒-√2+√3 OR -c+b

AD・BC, {(1-K)b+kc}(-c+b) ( ⊥なので)
{(1-k)b・-c+(1-k)b・b+kc・-c+kc・b}

b・b=|b|^2=3
c・c=2
b・c=|b||c|cosA=1 以上より

AD=(1/3)b→+(2/3)c→ となりました。

この後が求められません。
このあとは、AHを求めないとだめなのですけど、

ヒントとしては、
AH→=lAD→とおき、BH→⊥AC→からlを求める。。って書いてあるのですけど、良く解りません。
BHは、BH=HA+ABとするのですか?
ACは=Cもしくは、√2をつかうのですか?
これらより、式をつくるのでしょうか?
lを求めるって部分もちょっと良くわかりませんでしたので、式も造る事ができませんでした。

どなたか教えてください>_<

AB=√3、AC=√2、CosA=1/√6のような△ABCにおいて、AB→=b→、AC→=c→とし、頂点Aから対辺BCに引いた垂線をADとするとき、AD→をb→、c→で表せ。 また垂心をHとして、AH→をb→、c→で表せ。


この問題、途中までとけましたけど、最後がとけませんでした。。

BD:DC=K:(1-K)とおき、
AD⊥BCからKの値を求めるやりかたで
AD=(1-K)√3+K√2 OR AD=(1-K)b+kc
BC=CA+AB⇒-√2+√3 OR -c+b

AD・BC, {(1-K)b+kc}(-c+b) ( ⊥なので)
{(1-k)b・-c+(1-k)b・b+kc・-c+kc...続きを読む

Aベストアンサー

あなたに回答してもポイント発行するだけで、わかったとか、わからんとか、何も反応がなくておもしろくないです。だから、もう回答するのやめてしまいました。他の人はどう思っているか知りませんが。

QW=W0*exp(-E/kT)で、F∝√Wのとき、Fの活性化エネルギーはE/2でいいですか。

W=W0*exp(-E/kT)というようにWの活性化エネルギーがEとします。
W0は定数、kはボルツマン定数、Tは温度です。
また、FはWの1/2乗の依存性を持つとします。F∝√W
このときFのアレニウスプロット(x軸:1/T, y軸:Fの対数)ではFの見かけ上の活性化エネルギーはE/2となるのでしょうか。

Aベストアンサー

カテ違いのようですが、一応コメントします。普通化学反応の活性化エネルギーというと単位がJ(or kJ)/molで、分母はkでなくRとしますが、今回の例ではEは通常の活性化エネルギーをアボガドロ数で割ったものと考えます。
Arrhenius Plotは
ln W = ln W0 - E/kT
で1/Tに対して速度定数WをPlotします。そして勾配-E/kから活性化エネルギーをEとします。質問者さんの条件のようにもしF∝√Wであるなら
ln F = ln √W= (1/2)lnW=(1/2)ln W0 -(1/2)E/kT
ですから1/Tに対してln Fをプロットすれば、その傾きは-(1/2)E/kであり、Fという量に対して活性化エネルギーとしては(1/2)Eとなります。


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