F(s) = exp(-k*√s)/s^2 の逆ラプラス変換について手順も含めご教示ください。

上式の逆ラプラス変換を解くため、
以下の公式を使用して解けないか模索していますがうまくいきません。
下記以外の公式による方法でもよいですが、その場合は公式についてもご教示ください。
よろしくお願いいたします。

L^(-1)[exp(-k√s)/s]=erfc( k/(2√t) )
F(s)/s=L[∫_{0→t} f(t) dt]

を使ってできないか試みてますが、
余誤差関数erfc()または,公式erfc(y)=1-erf(y)で変換した誤差関数の積分が出来ずに躓きました。

A 回答 (4件)

F(s) = exp(-k*√s)/s^2において


合成積の公式を用いると・・・、
g(s)の逆ラプラス変換をinvL{g(s)}で表し、G(t)をg(s)の原関数とすれば
inv{g(s)/s^2} = ∫[0→t]∫[0→τ]{G(p)}dpdτ
= t・∫[0→t]{G(τ)}dτ-∫[0→t]{τG(τ)}dτ
・・・と表せる。

invL{exp(-k*√s)/s^2}
= t・∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ-∫[0→t]{(kτ/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ
= t・∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτ-∫[0→t]{(k/2(√(πτ)))exp(-k^2/4τ)}dτ

∫[0→t]{(k/2(√(πτ^3)))exp(-k^2/4τ)}dτでk/2√τ = xとでも置くと一項目の積分は
(2t/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx = (2t/√π)・erfc(k/2√t)

2項目の積分は部分積分の計算から
(k^2/2√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)/x^2}dx
= (k^2/2√π)・{(2√t/k)・exp(-k^2/4t)-2erfc(k/2√t)}

よって
invL{exp(-k*√s)/s^2}
= (2t/√π)・erfc(k/2√t)-(k^2/2√π)・{(2√t/k)・exp(-k^2/4t)-2erfc(k/2√t))
= (2t/√π)・erfc(k/2√t)+(2k^2/√π)erfc(k/2√t)-(k√(t/π))・exp(-k^2/4t)

・・・となった。(計算ミスが無ければ!?)

invL{exp(-k*√s)} = (k/2(√(πt^3)))・exp(-k^2/4t)を用いた
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
導出方法が分かりました。助かります。
答えは、Wolfram aphaで計算すると以下のようになります。

http://www.wolframalpha.com/input/?i=InverseLapl …

ご教示頂いた式では余誤差関数の定義より
(2t/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx
  = t・{(2/√π)・∫(∞→k/2√t]{exp(-x^2)}dx }=t・erfc(k/2√t)
のみ修正するとWolfram aphaと全く同じになります。

お礼日時:2014/09/27 13:03

証明は


http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~kobayashi/lt. …
の例5.2にあります。
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(2)式は、次のラプラス変換表4-1の(9)式です。


http://ceram.material.tohoku.ac.jp/~kamegawa/lec …
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この回答へのお礼

早速のご回答を頂きありがとうございます。
この公式は、どのように導き出したかご存知でしょうか。
導き出し方をご教示頂けないでしょうか。
非常にすっきりした形であり、小生が示した公式のように特殊関数を使用しないで済むので助かります。
小生が質問欄に記載した公式は以下のリンクにあるものです。
自分自身でもそうなることを確認済みですが、そうすると。
(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))=erfc( k/(2√t) )
が成り立つことになるのですが、これはどのように証明できるのでしょうか。

www.rinku.zaq.ne.jp/bkdit405/buturi/apma1.pdf
このファイルのP26

www.ep.sci.hokudai.ac.jp/~yamasita/inverse-Laplace.pdf
このファイルの21式

お礼日時:2014/09/26 23:08

最後は指数関数の積分と云う形に成り、積分できずに終わるようです。



参考までに、計算例です

F(s) = exp(-k*√s)/s^2        (1)

L^(-1)[ exp(-k√s)/s]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t)) (2)

(1)式より s F(s) – f(0) = exp(-k*√s)/s – f(0)

逆変換の公式(2)より
L^(-1)[sF(s)-f(0)]= df(t)/dt
L^(-1)[exp(-k√s)/s – f(0)]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))– f(0)δ(t)

よって」
df(t)/dt = 1/√(πt))*exp(-k^2/(4t)) – f(0)δ(t)

f(t) =∫ exp(-k’/t)/ √t)dt/√π - f(0)
  ここにk’=(k/2)^2
積分範囲0~t
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この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。嬉しいです。
ラプラス変換の微分公式を使う手があったんですね。勉強になります。
小生理解不足で申し訳ありません。
上の(2)式について教えてください。

小生質問に記載したL^(-1)[exp(-k√s)/s]=erfc( k/(2√t) )ではなく

L^(-1)[ exp(-k√s)/s]=(1/√(πt))*exp(-k^2/(4t))
となるのはなぜなのかご教示頂ければ嬉しいです。
よろしくお願いいたします。

お礼日時:2014/09/26 18:39

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多少、辛口なのは性分なのでご容赦を。

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Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

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搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

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Qカットオフ周波数とは何ですか?

ウィキペディアに以下のように書いてました。

遮断周波数(しゃだんしゅうはすう)またはカットオフ周波数(英: Cutoff frequency)とは、物理学や電気工学におけるシステム応答の限界であり、それを超えると入力されたエネルギーは減衰したり反射したりする。典型例として次のような定義がある。
電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。


ですがよくわかりません。
わかりやすく言うとどういったことなのですか?

Aベストアンサー

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です。



電子回路の遮断周波数の場合
-3dB はエネルギー量にして1/2である事を意味します。
つまり、-3dBなるカットオフ周波数とは

「エネルギーの半分以上が通過するといえる」

「エネルギーの半分以上が遮断されるといえる」
の境目です。

>カットオフ周波数は影響がないと考える周波数のことでよろしいでしょうか?
いいえ
例えば高い周波数を通すフィルタがあるとして、カットオフ周波数が1000Hzの場合
1010Hzだと51%通過
1000Hzだと50%通過
990Hzだと49%通過
というようなものをイメージすると解り易いかも。

>電子回路の遮断周波数: その周波数を越えると(あるいは下回ると)回路の利得が通常値の 3 dB 低下する。
>導波管で伝送可能な最低周波数(あるいは最大波長)。
>遮断周波数は、プラズマ振動にもあり、場の量子論における繰り込みに関連した概念にも用いられる。

簡単にいうと、一口に「カットオフ周波数」と言っても分野によって意味が違う。
電子回路屋が「カットオフ周波数」と言うときと、導波管の設計屋さんが「カットオフ周波数」と言うとき
言葉こそ同じ「カットオフ周波数」でも、意味は違うって事です...続きを読む

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q院試不合格の後の行動

 自分は国立大学に通っている工学部四年の学生です。自分の大学の院試を受け、不合格になってしまいました。勉強は朝~晩までしていたので、落ちるとは思ってませんでした。他大学の受験申し込み・就職活動はロクにしていません。就職しようと思えば、中小企業の推薦枠も残っているので、出来ると思います。両親は就職するべきだと考えているようです。
 大学に入るのに一浪しました。大学の成績も下から数えた方が早く、単位も危なかった位で、何度も成績上げろと叱咤されましたし、周りから他大学も院試受けたら?とも言われてきました。こんなのが院浪したいと言っても、説得力無いでしょう。
 御恥ずかしい事に今まで自分が何をやりたいのかさえ無いまま三年過ごしてきました。四年になり、研究室に入り、知能システムや制御に対して関心が沸いてきました。将来何をしたいのかははっきりとは固まっていませんが・・・正直言うと、修士へ進んでその手の勉強をしてみたい気持ちがあります。進んで”具体的に”何をしたいのか、と聞かれると言葉に詰りますが。
 今までの所業や説得力の有る明確な意思を提示できない以上、親は納得しないでしょう。推薦で就職するなら、二次募集の院試は諦めなくてはなりません。就職か院浪か早急に決める必要があります。
 どうであれ就職活動はするので、週末は実家へ帰ってスーツを新調してきます。あらゆる可能性を考えて頭がパンク気味ですが、もし留年なり研究生なりで院浪するなら、その時に説得しようと思ってます。

 実は、未だに自分の将来が見えません。こんな中途半端野郎が今さら”研究生として一年過ごし、修士に進みたい。研究生時代の間の金は、将来返すかバイトで工面する。”と言ったら、皆さんはどう思います?親関係と情け無い話ですが、よろしくお願いします。

 自分は国立大学に通っている工学部四年の学生です。自分の大学の院試を受け、不合格になってしまいました。勉強は朝~晩までしていたので、落ちるとは思ってませんでした。他大学の受験申し込み・就職活動はロクにしていません。就職しようと思えば、中小企業の推薦枠も残っているので、出来ると思います。両親は就職するべきだと考えているようです。
 大学に入るのに一浪しました。大学の成績も下から数えた方が早く、単位も危なかった位で、何度も成績上げろと叱咤されましたし、周りから他大学も院試受け...続きを読む

Aベストアンサー

『研究室の教授に留年の意向を伝え、10月から就職活動を始めて来年の6月までに就職活動を終え、それから卒論に着手する』というのがオススメです。

『留年や浪人は就職活動に響く』という意見の方もおられるみたいですが、、、私の経験上それはありません。 「1浪1留」「2留」「2浪」つまり、合計2年までの留年・浪人経験は全く影響しない、っていうのが就職活動では一般的です。 さすがに、3年目になるとだいぶ評価が下がるみたいですが。

今(4年生の7月以降)行なわれている企業の採用活動を受けるのはオススメしません。 なぜなら、大手の企業や人気企業は4年生の6月までに終わってしまい、現在行なわれている企業は、不人気な企業・地元の企業のみで、全く魅力的な企業が残っていないからです。 また、学部レベルの推薦を使うのはさらに進めません。大した企業はないと思うからです。
今から推薦をもらって就職する価値があるのは、電力会社くらいですかね。

私は修士に行って後悔したタイプなので、学部卒で自由応募の就職活動を強くススメます。

『未だに自分の将来が見えません。』
それを決定するのが、『就職活動』なんです。

これまでの自分の生き方を少し振り返り、今まで何を大切にしてきたかを思い出します。(自己分析)
「より高い収入よりも、時間的な余裕が欲しい。」「多少の忙しさよりも、収入とやりがいのある仕事をしてみたい。」「海外で仕事をすることにも憧れる」、etc、そういった漠然としたイメージを集めて、ある程度自分の『ライフプラン』をかためます。
次に、そのライフプランに沿った職業を探していきます。 もちろん、自分の興味のある分野をきっかけに職業を探していく、というのでもいいと思います。
ある程度『興味のある業界』が決まったら、やることはたくさんあります。
・OB訪問
・エントリーシートの作成
・集団面接or個別面接の練習
などなど、とにかく、自分の生き方や業界についての情報を集め、自分の中での職業観についてひたすら考え続けます。

このようにして、3年生の10月~4年生の6月ぐらいまでの長期間(9ヶ月)を経て、ようやく自分の将来が見えてきます。 自分の希望の企業に就職が決まれば非常に自信がつくし、仮に第一志望群の企業に決まらなくても、それなりに自分の将来に対して決着点を見出すことができます。

とにかく、『自分の将来を決定する』という作業に一番必要なのは、『就職活動』という長い時間をかけた作業なんです。
今のstainさんには、一番いい選択になるのでは、と思います。

『研究室の教授に留年の意向を伝え、10月から就職活動を始めて来年の6月までに就職活動を終え、それから卒論に着手する』というのがオススメです。

『留年や浪人は就職活動に響く』という意見の方もおられるみたいですが、、、私の経験上それはありません。 「1浪1留」「2留」「2浪」つまり、合計2年までの留年・浪人経験は全く影響しない、っていうのが就職活動では一般的です。 さすがに、3年目になるとだいぶ評価が下がるみたいですが。

今(4年生の7月以降)行なわれている企業の採用活動を受ける...続きを読む

Qデルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?

デルタ関数をラプラス変換すると何故1になるか?
わかり易く説明お願いします。

デルタ関数はt=0の時、∞になり
      t≠0の時、0である
のは理解しているのですが、どうもラプラス変換して何故1になるかが分かりません。
そういうものとして丸暗記するべきことなのでしょうか?

Aベストアンサー

実は0になるとはいえないのです

δ関数というのは
例えば
fε(t)=exp(-t^2/2/ε^2)/√(2・π)/ε
のように質のいい関数において
εを0に近づけたときの極限の関数なのです
実際には極限ではなく今考えている問題において十分0に近くすればいいでしょう
fε(t)でなくても質のいい関数ならば代わりの関数を持ってきてもεに相当するパラメータを0近くにすればほぼ同じ結果が得られるのです
シュワルツは形式的に矛盾しないようにδ関数を定義しましたが作為的なので彼の理論には問題があります
この点において佐藤さんの方が人気が有るようです

片側ラプラス変換では積分範囲が0から無限大なので1とするには無理があります
しかし両側ラプラス変換ならば1となるのです
だから片側ラプラス変換を使うのを止めたほうがいいでしょう

∫[-∞,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=1
ですが
∫[0,∞]dt・δ(t)・exp(-st)=0,1/2,1,?
ですから
もし先のガウシアンを採用した場合は1/2です

Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。)

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう?
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて1になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
A=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
(自分の解法)
まず
与式=
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
(ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって,
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき,λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから,rank(A-λI)=1
よって,固有空間は1次元
だから,本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです.
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます.

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様.A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で,計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります.

重解であろうがどうであろうが,求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう.

No.1さんと同様,記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか,質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが,
>とありました。なぜなでしょう?
答えを確かめましたか?
本当にその「解答」があってますか?
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ.

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です.
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n...続きを読む

Q閉ループゲイン 開ループゲイン

オペアンプの閉ループゲイン、開ループゲインとはそもそも何なのでしょうか?
根本的なとこがわかりません。
どなたかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

[図6.1-41]を見てください。
これが開(オープン)ループゲインです。(青色)
(フィードバックをかけていないときの利得ー周波数特性)
http://my1.interlink.or.jp/~md0858/series4/densi0613.html

70Hzくらいまでは100dBの利得がありますが、より高い周波数では-6dB/oct(=-20dB/decade)でどんどん下がっていき、7MHzくらいで0dBとなります。
(最大利得と周波数特性はオペアンプの種類によって異なるが、この”傾向”はすべてのオペアンプについて言える)

[図6.1-43]を見てください。
例えば80dB(60dB)のフィドバックをかけたとすると、利得は20dB(40dB)になりますが、利得一定の周波数幅がうんと広くなることにお気づきでしょうか?
これが閉ループゲインです。

一般に、オペアンプの開ループゲインは100dB以上ありますが、これを開ループで使うことは滅多にありません。
周波数特性が問題にならないコンパレータのときくらいのものです。

参考URL:http://my1.interlink.or.jp/~md0858/series4/densi0613.html

[図6.1-41]を見てください。
これが開(オープン)ループゲインです。(青色)
(フィードバックをかけていないときの利得ー周波数特性)
http://my1.interlink.or.jp/~md0858/series4/densi0613.html

70Hzくらいまでは100dBの利得がありますが、より高い周波数では-6dB/oct(=-20dB/decade)でどんどん下がっていき、7MHzくらいで0dBとなります。
(最大利得と周波数特性はオペアンプの種類によって異なるが、この”傾向”はすべてのオペアンプについて言える)

[図6.1-43]を見てください。
例えば80dB(60...続きを読む


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