正6面体や正8面体の展開図は11通りあることは、分かりますが
正12面体の展開図は何通りあるのでしょうか。
その総数とできれば求め方を教えていただきたいのですが。

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A 回答 (4件)

>正12面体の展開図は何通りあるのでしょうか。



43380通りあるようです。
http://mathworld.wolfram.com/Net.html

http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/
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面倒くさがりやです。


最初の2個をくっつけたあと、3個目をくっつけるのは2通りありますが、隣り合う辺にくっつけない場合、くっつけないままでは、最後に「穴」になりますから、隣り合う辺でくっつけた3個の形からスタートして問題ないと思うのですが・・。
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●220通りもあるんかいな?どうやって数えたんでしょうか。

同じ要領で6面体や8面体をやってみると数が合いますでしょうか?

 それとは別件として、もう一回よく考えたら、前回の回答はちと、おかしいという事に気が付きました。
●やっぱり、最初に数え上げる際には、グラフのnodeは番号なり名前なり付けて区別しなくちゃいけません。たとえばあるnodeから出ている5本のarcのうち、2本を残すことを考えると、その残す2本の先にあるnodeは区別しなくてはならない。12面体上で言うなら、5角形の5本の辺の内2本を残す場合に、隣り合う2本を残すか、隣り合っていない2本を残すか、の区別が必要であるということです。
●従って、前の回答の数え方では、少なく数えすぎるということになっちゃいます。毎度の事ながら間違えました。ごめんなさい。

●ともあれ、まず正5角形を1個持ってくる。これにもう1個の5角形を辺同士くっつけるやり方は1通りしかない。
 さらにもう1個くっつけるやり方は2通りある(裏返しは同じものとみなすから)。ですから3個の面が繋がった形というのが2通りある。これをグラフで描くと、正12面体のグラフの一部になっている(部分グラフである)。
 4個目の5角形をくっつけて、しかも正12面体のグラフの部分グラフになるようにするやり方は(対称なものを除いて)何通りあるか。
 4個目を、空いている辺のどれにくっつけても良いというわけではありません。くっつけて良い場所はどこか、これは正12面体のグラフを見れば分かる。つまり「正12面体のグラフの部分グラフになるようにする」というのは展開図として正しいことを保証する条件である訳です。
 また、たとえば「3個目と4個目はくっつける順番が入れ替わってるだけで、4個くっついたものとしては同じになる」という場合もあるから、4個目をくっつけたものを全部数え上げた段階で、重複するものが無いかチェックする必要があります。
 同様に、5個目、6個目、...という風に頑張る。こうやって木を構成していく訳です。
 どんどん場合分けが増えていくので、計算機のお世話にならないととても数え上げられないでしょう。
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考え方は大筋、以下のようで良いと思うんです。



●多面体をひとつの無向グラフ(幾つかの点を線で繋いだだもの)に対応付けます。
 用語が混乱しないように、グラフの点はnode、グラフの線はarcと呼ぶことにします。グラフはどう変形しようと、nodeとnodeの繋がり方さえ変えなければ同じものと見なされる、ということを憶えて置いてください。
 多面体のそれぞれの面に対応するnodeを作ります。正6面体なら6個のnodeがあるわけです。
 次に、多面体における辺をグラフのarcに対応させます。多面体の面A,Bが一つの辺を共有しているとき、グラフでこれらの面に対応するふたつのnodeの間をarcで結びます。こうすると、正6面体なら12本のarcができる。正8面体なら8個のnodeと12本のarc。正12面体なら12個のnodeと30本のarcを持つグラフになるはずです。

●このグラフからarcを幾つか取り除いて、これを木(tree)に変換する。
木とは、
(1)サイクルがない。つまりどのnodeについても、そのnodeから出発して、同じarcを1度しか通らずに元のnodeに戻ってくる道が存在しない。要するにループになっていない。
(2)連結である。つまり、どの二つのnodeに注目しても、それらを繋ぐ経路がある。要するにひとまとまりに繋がっていて、2つ以上のグラフに別れていない。

●「木を作る際にグラフから取り除いたarc」に対応する多面体の辺を切り開いてやれば、展開図が得られる訳です。だから、このような木が何通り作れるかを考えればよい。

●ただし、対称なものは除いて数えなくちゃいけない。回転させたり鏡に映したりしておなじになるものは同一としなくてはならない。
正多面体ではどの面も区別が付かない訳ですから、グラフのnodeに名前を付けずに、どのノードも特別視しないことにすれば良い。こうすれば木のnodeの繋がり方だけで分類が決まります。
(たとえば直方体の展開図というのだと、nodeを区別する必要があるから正6面体より種類が多くなっちゃいますね。)

●上記の話でちょっとだけ怪しい所がある。展開図にしたときに、自分自身と重なりが生じないかどうか。それを保証する証明ができていていません。しかしま、大概ダイジョブそうだ、という予想はつきます。

●かくて、話はグラフ理論の問題に変換されました。

おしまい。どうも中途半端ですいませんねえ。

この回答への補足

さっそくの回答ありがとうございます。

「このような木が何通り作れるかを考えればよい」ということで
ここは実際に数えてみるしか方法がないのでしょうか。
対称性に注目して、展開図が点対称になるものを数えてみましたが
それだけで220通りという結果(こんなにあるのか?ちょっとあやしい)
を得ましたが、あるいは他にまだあるのでしょうか。グラフ理論もほとんど
知らない素人です。

補足日時:2001/06/10 22:05
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正十二面体や正十二面体はどうやって43380種類とわかったのでしょうか?
11種類から突然43380種類と莫大な数になって数え上げは無理ですよね?

また多面体の展開図について詳しく述べている本などありましたら
教えてください。(洋書も可)
・正多面体から半正多面体などに条件を緩めて展開図を考える (例:サッカーボール型の展開図は何種類あるのか)
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Kは、FBに接しているから、上側で遠いDが反対です。

↓正十二面体の立体の図
http://www.suriken.com/knowledge/glossary/positive-twelve-body.html

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これも1種類しかありません。

もう一つつなげます。
台形の外側には、5カ所の正三角形の辺が存在しますが、
そのうち台形の下底は下底同士で結びつくので、
つなげられる箇所は「左の斜辺」「上底」「右の斜辺」
の3カ所しかありません。

このうち、「左の斜辺」「右の斜辺」にくっつけると、
どちらも正三角形を横に4個並べた平行四辺形になります。
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上底にくっつけると、大きな正三角形になります。

結局、2種類しかありません。

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授業はつまらなかったのであまり真剣に受けていないので正確にはわからないですが、
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よろしくお願いします。

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>解答は6種類なのですが、4種類しかイメージがわきません。
6種類になる理由を教えてもらえないでしょうか。

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一辺が30mm程度のものを作りたいのですが・・・

ちなみに、320面体はPC上では出来る様です。
ここで見付けました↓
http://www.sra.co.jp/people/aoki/Jun/Topics/TypicalHedron/index.html

本当は、その次の、1280面体を作りたいのですが、
320も出来ない様では、こちらは無理かもと半分あきらめています・・・
何か良い計算方法は無いものでしょうか・・・
出来れば、展開図の作成方法も知りたいです・・・悩んでいます・・・
こちらのHPも参考にさせて頂いたんですが、
(http://www.ed.ehime-u.ac.jp/~hirata/publish/tamentai/)
こちらのHPのプログラムを実行させるのに、
どう入力すれば320面体が表されるのか、私にはさっぱりでした。
どうか、皆様のお知恵を拝借させて下さい・・・
御早い御返答を切に願います・・・・・・

私は美術をやっている者なんですが、現在、球に近い多面体を作品化しようとしています。しかし、多面体(正320面体?)の展開図を作りたいのですが、どうやったら出来るのか分かりません・・・
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本当は、その次の、1280面体を作りたいのですが、
320も出来ない様では、こちらは無理かもと半分あきら...続きを読む

Aベストアンサー

綺麗な展開図は恐らくできないでしょう。

正二十面体の展開図は下のような物です。
  △  △  △  △  △
 △▽△▽△▽△▽△▽
 ▽  ▽  ▽  ▽  ▽    (当然ながら実際には隙間がありません。)

八十面体は正二十面体の各面を4分割して膨らませるものらしいので、正二十面体の1面を、対応する八十面体の4つの三角形で
   △               A
 △▽△  と表し、位置を BC D で表すと
Cが正三角形、A、B、Dが少し潰れた2等辺三角形になります。
従って、正二十面体の展開図に重ねると隙間があくことになります。

320面体は八十面体の各面を4分割するので、更に隙間があくことになるでしょう、おそらく。
だから320面体を1枚の展開図にするのは諦め、幾つかの要素を寄せ集めた方がいいと思います。私は、4つの三角形から成る要素80個で形状を算出してみました。

80面体のC の位置に来る要素(20個) 
   △               E
 △▽△  と表し、位置を FGH で表すと
  Gの三角形 1辺約36.33mmの正三角形 
  E、F、Hの三角形 底辺約36.33mm、斜辺約34.98mmの2等辺三角形 

80面体のA、B、Dの位置に来る要素(60個)
   △               J
 △▽△  と表し、位置を KLM で表すと
  Lの三角形  底辺約35.92mm、斜辺約31.92mmの2等辺三角形
  Jの三角形 底辺約35.92mm、斜辺約30.84mmの2等辺三角形 
  K、Mの三角形 3辺が約31.92mm、約30.84mm、約34.98mmの三角形 
 
K、Mの三角形は、要素内で、34.98mmの辺が同じ側に来るように配置してください。
できあがる320面体の直径は22.4cmくらいになるでしょう。
いちおうエクセルで算出したのですが、計算違いがあったらごめんなさい。

綺麗な展開図は恐らくできないでしょう。

正二十面体の展開図は下のような物です。
  △  △  △  △  △
 △▽△▽△▽△▽△▽
 ▽  ▽  ▽  ▽  ▽    (当然ながら実際には隙間がありません。)

八十面体は正二十面体の各面を4分割して膨らませるものらしいので、正二十面体の1面を、対応する八十面体の4つの三角形で
   △               A
 △▽△  と表し、位置を BC D で表すと
Cが正三角形、A、B、Dが少し潰れた2等辺三角形になります。
従って、正二十面体の展...続きを読む

Q展開図の問題です。

展開図の問題です。
図のようなプレゼント用の直方体の箱にリボンをかけたい。このときのリボンの最短の長さはおよそいくらか。ただしリボンの結び目の長さは含まない。

お世話になります。
展開図から長さを求めると思うのですが、どう展開図を書けばいいか難しいです。
うまいやり方とかあれば教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

20cmx20cmの面はリボンの紐が2度通りますので展開図では考えやすくするため
この面を2回ダブって描きます。小さい長方形の面は紐が1度しか通らないので
一回しか出てきません。

図は添付図の赤線のような紐の張り方で最短になります(図の赤線)。
この赤線を斜辺とする直角三角形は、右に少しずらした斜辺(ピンク色の線)の
直角三角形と合同なので、赤線の最短距離Lは直角を挟む2辺の長さが60cmの2等辺
直角三角形の斜辺の長さに等しいから
L=60√2cm=84.85...≒85cm
となります。

Q正十二面体と正二十面体

正十二面体と正二十面体とどっちが辺の数が多いんですか?教えてください。

Aベストアンサー

同じです。

数えるのは面倒ですが、計算できます。

正十二面体……5(正十二面体を構成する正五角形の辺の数)×12個÷2(一辺で接する図形の数)=30
正二十面体……3(正二十面体を構成する正三角形の辺の数)×20個÷2(一辺で接する図形の数)=30

蛇足ながら、同じ考え方で頂点の数を計算すると、それぞれ 20、12 となり、正十二面体の方が多くなります。


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