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正6面体や正8面体の展開図は11通りあることは、分かりますが
正12面体の展開図は何通りあるのでしょうか。
その総数とできれば求め方を教えていただきたいのですが。

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A 回答 (4件)

>正12面体の展開図は何通りあるのでしょうか。



43380通りあるようです。
http://mathworld.wolfram.com/Net.html

http://gwydir.demon.co.uk/jo/solid/
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面倒くさがりやです。


最初の2個をくっつけたあと、3個目をくっつけるのは2通りありますが、隣り合う辺にくっつけない場合、くっつけないままでは、最後に「穴」になりますから、隣り合う辺でくっつけた3個の形からスタートして問題ないと思うのですが・・。
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●220通りもあるんかいな?どうやって数えたんでしょうか。

同じ要領で6面体や8面体をやってみると数が合いますでしょうか?

 それとは別件として、もう一回よく考えたら、前回の回答はちと、おかしいという事に気が付きました。
●やっぱり、最初に数え上げる際には、グラフのnodeは番号なり名前なり付けて区別しなくちゃいけません。たとえばあるnodeから出ている5本のarcのうち、2本を残すことを考えると、その残す2本の先にあるnodeは区別しなくてはならない。12面体上で言うなら、5角形の5本の辺の内2本を残す場合に、隣り合う2本を残すか、隣り合っていない2本を残すか、の区別が必要であるということです。
●従って、前の回答の数え方では、少なく数えすぎるということになっちゃいます。毎度の事ながら間違えました。ごめんなさい。

●ともあれ、まず正5角形を1個持ってくる。これにもう1個の5角形を辺同士くっつけるやり方は1通りしかない。
 さらにもう1個くっつけるやり方は2通りある(裏返しは同じものとみなすから)。ですから3個の面が繋がった形というのが2通りある。これをグラフで描くと、正12面体のグラフの一部になっている(部分グラフである)。
 4個目の5角形をくっつけて、しかも正12面体のグラフの部分グラフになるようにするやり方は(対称なものを除いて)何通りあるか。
 4個目を、空いている辺のどれにくっつけても良いというわけではありません。くっつけて良い場所はどこか、これは正12面体のグラフを見れば分かる。つまり「正12面体のグラフの部分グラフになるようにする」というのは展開図として正しいことを保証する条件である訳です。
 また、たとえば「3個目と4個目はくっつける順番が入れ替わってるだけで、4個くっついたものとしては同じになる」という場合もあるから、4個目をくっつけたものを全部数え上げた段階で、重複するものが無いかチェックする必要があります。
 同様に、5個目、6個目、...という風に頑張る。こうやって木を構成していく訳です。
 どんどん場合分けが増えていくので、計算機のお世話にならないととても数え上げられないでしょう。
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考え方は大筋、以下のようで良いと思うんです。



●多面体をひとつの無向グラフ(幾つかの点を線で繋いだだもの)に対応付けます。
 用語が混乱しないように、グラフの点はnode、グラフの線はarcと呼ぶことにします。グラフはどう変形しようと、nodeとnodeの繋がり方さえ変えなければ同じものと見なされる、ということを憶えて置いてください。
 多面体のそれぞれの面に対応するnodeを作ります。正6面体なら6個のnodeがあるわけです。
 次に、多面体における辺をグラフのarcに対応させます。多面体の面A,Bが一つの辺を共有しているとき、グラフでこれらの面に対応するふたつのnodeの間をarcで結びます。こうすると、正6面体なら12本のarcができる。正8面体なら8個のnodeと12本のarc。正12面体なら12個のnodeと30本のarcを持つグラフになるはずです。

●このグラフからarcを幾つか取り除いて、これを木(tree)に変換する。
木とは、
(1)サイクルがない。つまりどのnodeについても、そのnodeから出発して、同じarcを1度しか通らずに元のnodeに戻ってくる道が存在しない。要するにループになっていない。
(2)連結である。つまり、どの二つのnodeに注目しても、それらを繋ぐ経路がある。要するにひとまとまりに繋がっていて、2つ以上のグラフに別れていない。

●「木を作る際にグラフから取り除いたarc」に対応する多面体の辺を切り開いてやれば、展開図が得られる訳です。だから、このような木が何通り作れるかを考えればよい。

●ただし、対称なものは除いて数えなくちゃいけない。回転させたり鏡に映したりしておなじになるものは同一としなくてはならない。
正多面体ではどの面も区別が付かない訳ですから、グラフのnodeに名前を付けずに、どのノードも特別視しないことにすれば良い。こうすれば木のnodeの繋がり方だけで分類が決まります。
(たとえば直方体の展開図というのだと、nodeを区別する必要があるから正6面体より種類が多くなっちゃいますね。)

●上記の話でちょっとだけ怪しい所がある。展開図にしたときに、自分自身と重なりが生じないかどうか。それを保証する証明ができていていません。しかしま、大概ダイジョブそうだ、という予想はつきます。

●かくて、話はグラフ理論の問題に変換されました。

おしまい。どうも中途半端ですいませんねえ。

この回答への補足

さっそくの回答ありがとうございます。

「このような木が何通り作れるかを考えればよい」ということで
ここは実際に数えてみるしか方法がないのでしょうか。
対称性に注目して、展開図が点対称になるものを数えてみましたが
それだけで220通りという結果(こんなにあるのか?ちょっとあやしい)
を得ましたが、あるいは他にまだあるのでしょうか。グラフ理論もほとんど
知らない素人です。

補足日時:2001/06/10 22:05
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