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高校物理のブラッグ条件について質問させていただきます。
画像を添付しましたのでご覧いただけますでしょうか。
点線部分を格子面とした場合を考えます。この時原子は縦に並んでいません。
X線が原子で反射したとすると、その経路差は図のように、
赤線の長さ―青線の長さ になるかと思います。(違ってたらすみません)
これだと経路差が2dsinθにならないんじゃないかと思います。
いろいろ計算しようとしましたが、経路差をうまく計算できませんでした。

それでいろいろ教科書、参考書などで調べたところ、原子が縦に並んでいなくても
格子面のどこでも光は反射すると考えてよいみたいな説明がありました。
しかしなぜそのように考えていいのかは触れておりませんでした。

原子がないところでなぜ光は反射できるのか?この点どのように理解していいのか
教えてください。よろしくお願いいたします。

「高校物理 ブラッグ条件について」の質問画像

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A 回答 (1件)

質問者の図での経路差も2dsinθとなります。


図の下側で散乱している原子から上の面に下した垂線の足の点での反射を考えてみれば下の原子で散乱されたものとの経路差が2dsinθとなることはわかるでしょう。
今考えた反射と同一面内の横の原子での散乱を比較して経路差を計算してみましょう。
簡単な補助線2本で経路差が"0"であることがわかります。
以上のことから質問者の図での二つの散乱の経路差は2dsinθとなることがわかります。

このような線を引かずに直接証明する方法は
http://tachiro.client.jp/theorem/theorem-058-Bra …
をご覧ください。

Bragg条件の導出は面での反射などという考えではなく、1個1個の原子からの散乱をすべて足し合わせるという方法で行います。
この方法で計算すると散乱が強めあう条件としてLaue条件というものが出てきます。
このLaue条件はBragg条件と等価であることが簡単に示せます。
その計算をここで示すのは少し面倒なのでそのことを実際に示しているサイトを見てください。
http://www.crl.nitech.ac.jp/~ida/education/struc …
このサイトは高校生にはわかりにくいとは思います。わからないならそんなもんなんだと思ってください。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。補助線を引いていろいろ考えてみましたが
どうもうまくいきませんでした。
ただ、リンクにあった和積公式を使うやり方でやったらうまくできました。
非常に助かりました。

お礼日時:2014/09/26 19:10

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Qブラッグの条件が成り立つ理由

この図の赤いところの長さがdsinθなのですが、この赤いところの長さを二倍(つまり2dsinθ)したら波長になるのはなぜですか?

Aベストアンサー

光路差の意味がわからないのであれば,まずは光の干渉を学習してください.
X線も光と同じ電磁波の一種ですので光線の場合と同じ干渉条件が成り立ちます.

光源と観測点は十分に遠方にあるので,水色の二本の線はほぼ平行線で近似します.

上の原子面で反射する光線はO-A-Pと通過しますが,下の原子面で反射する光線はO-A'-Pと通過します.

点AからOA', A'Pに垂線を降ろしその足をB,Cとすると,光源Oが同一で平行線とみなせるのでO-AとO-Bの長さが等しくなります.

また,同様に観測点Pが同一点で平行線とみなせるのでA-PとC-Pの長さも等しいので上下の光線はB-A'-Cだけ通過する距離が異なっています.

これが光路差で,この光路差が波長の整数倍の場合に,A-Pの光とC-Pの光の山と山,谷と谷が一致することになるのでこの2本の光線は互いに強め合うことになります.

この条件を表しているのがブラッグの式です.

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む


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