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A,B2人がコインを1個ずつ持ち、同時に投げて一方が表で他方が裏なら表の出た方に○、裏の出た方に×、またともに表かともに裏ならどちらにも△を与える、そして繰り返し投げて、間に×をはさまずに○を2個先に取ったほう(△をはさんでもよい)を勝ちとする
このとき、n回目(n>=2)で勝負が決まる確率を求めよ

解説 n回中k回が△となる確立は[n]C[k](1/2)^k×(1/2)^(n-k)=[n]C[k]/2^n
n回中k回が△であるという条件の下でn回目にまだ勝負がつかないのは、n回目までの△を除くn-k回についての星取表(最初に勝った人のもの)が○●○●...
となることで、このようになる確率は(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)

よってn回目にまだ勝負が付かない確率P[n]はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[n]/2^n=2(3/4)^n-1/2^n

したがって求める確率はP[n-1]-P[n]=1/2×(3/4)^(n-1)-1/2^n

とあったのですが

解説のn回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が
(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか?
よってn回目に勝負が付かない確率はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません

求める確率がP[n-1]-P[n]で求まるのも良く分かりません

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A 回答 (10件)

>>最初は○でも●でもいいから確率1 


>意味不明です。

これは失礼。その考え方でも
確率はでますね。-1がでてくる
説明にもなります。
ただちょっと捻りすぎかな~。
私は分けて攻める方が好きです。

この回答への補足

確認の方有難うございます、これで、この問題は解決しました

補足日時:2014/10/20 13:10
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この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/10/20 13:10

>最初は○でも●でもいいから確率1 



意味不明です。

最初が●のケースと○のケースを別々に計算して足しているだけです。

この回答への補足

それは、この考え方でもいいですかという事で確認をお願いします

△がk個あるとすると
最初は○でも●でもどっちでも良いので確率1、2番目は最初と逆にならないといけないので1/2
 3番目も2番目と逆になるので1/2、、、n番目はn-1番目と逆になるので1/2よって(1/2)^(n-k-1)

補足日時:2014/10/19 22:24
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この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/10/19 22:24

>最初は○でも●でもいいから確率1



意味不明です。

最初が○のケースと最初が●のケースを別々に計算して足しているだけです。
複雑に考える必要はありません。
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>負けの場合は何で-1なんですか?



○●○●・・・ となる確率は、ここでは△取り除いた後の残りのパターンの発生確率だから

○が起きる確率を 1/2 , ●が起きる確率を 1/2 として、残りのパターンの数が n-k 個の場合の確率は

(1/2)^(n-k)

n-k 個で ●○●○・・・ となる確率は同様に

(1/2)^(n-k)


双方のどちらかになる確率は (1/2)^(n-k) + (1/2)^(n-k) = (1/2)^(n-k-1)

例 n-k = 2

○● と ●○ の2パターンだから (1/2) x (1/2) + (1/2) x (1/2) = 1/2

(1/2)^(n-k-1) = (1/2)(2-1) = 1/2

一致するでしょ?

この回答への補足

最初は○でも●でもいいから確率1 2回目は最初の逆にならないといけないから確立1/2、3回目は2回目の逆にならないといけないから確立1/2これがn回目まで続くから1・1/2・1/2・・・1/2=(1/2)^(n-k-1)という事ですか?

補足日時:2014/10/19 19:56
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この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/10/19 19:56

なるほど, あなたは「最初に勝った人が最初に負ける場合を考えなければ正しい答えを得ることはできない」と考えたのですね?



その根拠はなんですか?

この回答への補足

最初に負けることも有りうるから、それも考えないといけないと思ったからです

補足日時:2014/10/19 19:56
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この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/10/19 19:57

補足に対する回答


何で最初に負けの場合を考えないのですか?それはA,Bのどちらかが勝ちから始まるとそれで分かるんですが、負けから始まるかもしれませんよね?
>Aの場合とBの場合で2倍してる。Bが勝つ場合がAが負ける場合だよ。
面倒だから全部まとめて回答するから、あとは理解出来るまで自分で考えて下さい。
解説のn回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が
(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません
>「星取表(最初に勝った人のもの)が○●○●...」の確率は(1/2)^(n-k)、
これをAの星取表とするとBについても同じ星取表が考えられるので
全体の確率は2倍となり、2*{(1/2)^(n-k)}=(1/2)^(-1)*{(1/2)^(n-k)}=(1/2)^(n-k-1)

 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか?
>上で回答済み。

よってn回目に勝負が付かない確率はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません
>P[n]=Σ(n回中k(0≦k≦1)回が△となる確率)*(n-k回についての星取表の確率)+n回全てが△の確率

求める確率がP[n-1]-P[n]で求まるのも良く分かりません
>求める確率=P[n-1]*Ps(n回目の投げで事象sが生じる確率)とすると
P[n]=P[n-1]*(1-Ps)だからP[n]=P[n-1]-P[n-1]*Ps
すなわち、求める確率=P[n-1]-P[n]
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この回答へのお礼

有難うございます

お礼日時:2014/10/25 22:18

>求める確率がP[n-1]-P[n]で求まるのも良く分かりません



「n回で勝負がつかない」の否定はどうなるかを考えて見ましょう。
「n回で勝負がつく確率」でしょうか? そう考えてしまったら負けです(^^;

P[n-1] = n-1 回で勝負がつかない確率。
A = 1 - P[n-1] =
2回で勝負がつく確率 + 3回で勝負がつく確率 + ・・・ n-2回で勝負がつく確率 + n-1回で勝負がつく確率

P[n] = n回で勝負がつかない確率。
B = 1 - P[n] =
2回で勝負がつく確率 + 3回で勝負がつく確率 + ・・・ n-1回で勝負がつく確率 + n回で勝負がつく確率

B - A = n回で勝負がつく確率 = P[n-1] - P[n]

この回答への補足

そこは分かったのですが最初に負けの場合の所をお願いします

補足日時:2014/10/17 20:23
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この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/10/17 20:23

>何で最初に負けの場合を考えないのですか?



考えているから -1 が付くのですよ。考えなければ (1/2)^(n-k) でなければおかしいでしょ。

少しは頭を使いましょう。

この回答への補足

負けの場合は何で-1なんですか?

補足日時:2014/10/17 20:10
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この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/10/17 20:11

最初の分かりませんだけ。



解説のn回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が
(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません
>「星取表(最初に勝った人のもの)が○●○●...」の確率は(1/2)^(n-k)、
これをAの星取表とするとBについても同じ星取表が考えられるので
全体の確率は2倍となり、2*{(1/2)^(n-k)}=(1/2)^(-1)*{(1/2)^(n-k)}=(1/2)^(n-k-1)

この回答への補足

何で最初に負けの場合を考えないのですか?それはA,Bのどちらかが勝ちから始まるとそれで分かるんですが、負けから始まるかもしれませんよね?

補足日時:2014/10/17 16:10
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この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/10/17 16:10

1点だけ:



負けた場合は考えなくていい. 理由は問題を読み直すこと.

この回答への補足

読んだけど分かりません、詳しくお願いします

補足日時:2014/10/17 14:34
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この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時:2014/10/17 14:34

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