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原点を中心とする半径1の円上の4点E(1,0) A(cosθ,sinθ) B(cos2θ,sin2θ) C(cos3θ,sin3θ) を考える。ただし、0<θ≦π/3 とする。
(1)線分AEの長さをcosθを用いて表わせ。
(2)△ABCの面積S1 をsinθとcosθを用いて表わせ。
(3)△OACの面積S2が△ABCの面積S1と等しくなるときのθを求めよ。
(4)θ=π/3 のとき、△ABCの内接円の半径rを求めよ。

(1)はAE=√2(1-cosθ) と出ましたが その先が分かりません。 解説をお願いします。

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A 回答 (2件)

図を描いてみれば結構簡単です。


ところが今の私にはその手段がない。ということで文書で書くので自分で図を書いてみてください。

E,A,B,Cは原点中心の単位円上の点ですが、それぞれの位置に次のような関係があります。
∠EOA=∠AOB=∠BOC=θ

次に△ABCについて考えて見ます。
これがBA=BC(=(1)の答え)の二等辺三角形であることはすぐにわかるでしょう。
さらに、ACとBOが直交するということもわかるでしょうか。ここに気づけば簡単です。

(2)を計算するには、どこが三角形の底辺であり高さであるかに注目すればよい。
CとBOの交点をHとすると
S1=AC*BH/2=(AH*2)*BH/2=AH*BH
となります。
つまり、AHとBHを求めればよいわけです。これは簡単にわかります。(BH=BO-OHで計算できます。)

(3)も結構簡単。
S2の面積を考えるとき、底辺をAC,高さをOHとするとS2の面積が計算できます。
というよりも△ABCと△OACは底辺ACを共有するのですから高さが同じ長さであれば面積は等しくなるのです。

(4)これも製図ができると結構簡単。
△ABCの内接円の中心をDとおくとD点は∠BACの2等分線と∠ABCの2等分線の交点となります。
∠ABCの2等分線とはBHのことですのでBHと∠BAHの2等分線との交点と言い換えることができます。
△ABHに注目すると2等分線の性質から
BD:DH=AB:AH
となります。
このことから
r=DH=BD*AH/AB
となります。
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この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます。
おかげで図もかけて 解くことができました。

お礼日時:2014/10/19 15:44

(2)(3) 三角形の面積=(1/2)ab・sinα (a, b 辺の長さ、α:2辺のなす角度)


で求まる。
sinαは外積で求めるのが簡単だが、大学入試では、外積を使用すると
減点する大学があるので、内積で cosαを求めてから変換する。
(sinα)^2 + (cosα)^2=1 を利用すればよい。
(4) 内接円の半径 x (3辺の長さの和) x (1/2) = 三角形の面積
  を利用する。
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この回答へのお礼

最後の(4)の公式すっかり忘れてしまっていました…ありがとうございました。

お礼日時:2014/10/19 15:44

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Q三角関数です

原点O(0,0)を中心とする半径1の円上の4点E(1,0),
A(cosθ,sinθ),
B(cos2θ,sin2θ),
C(cos3θ,sin3θ)
を考える。ただし、
0<θ≦π/3 とする。

(1)線分AEの長さをcosθ
を用いて表せ。

(2)△ABCの面積S1を
sinθとcosθを用いて表せ。

(3)△OACの面積S2が
△ABCの面積と等しくなるときのθの値を求めよ。

考え方を教えてください!詳しく教えていただけると
嬉しいです。

Aベストアンサー

単位円の図上に問題に出てくる△ABCや線分を描き込むようにして下さい。

(1)
AE^2=(1-cosθ)^2+(sinθ)^2
=2-2cosθ (∵(sinθ)^2+(cosθ)^2=1)

∴AE=√{2(1-cosθ)}

(2)
S1=△OAB+△OBC-△OAC
=2△OAB-△OAC (∵△OAB≡△OBC)
=2sin(θ/2)cos(θ/2)-sinθcosθ
=sinθ-sinθcosθ
=(1-cosθ)sinθ

(3)
△OAC=sinθcosθなので
 (1-cosθ)sinθ=sinθcosθ
 (1-2cosθ)sinθ=0
0<θ≦π/3なので sinθ≠0
 ∴cosθ=1/2
0<θ≦π/3からθは分かりますね。


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