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□1 lim(n→∞) 1/n ∑(n,k=1)sin(πk)/n

□2 lim(n→∞)∑(n,k=1)sin{(n+2k)/(n^2+nk+k^2)}

□3 lim(n→∞) (√n)sin(1/n)∑(n,k=1) 1/√(n+k)

□4 半径1の円に内接する正n角形の異なる2つの頂点を結ぶ線分、辺と対角線の総数をMn,それらの長さの総和をLnとする時、lim(n→∞)Ln/Mn を求めなさい。

この4つの問題です。解答、解説お願いします。

A 回答 (2件)

区分求積法です。



lim[n→∞](1/n)Σf(k/n)
という形を作れば積分型に変換できます。

http://naop.jp/text/3/seki10.html
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1番は余りにもアホらしく、これが瞬殺できない人はクソして寝るのが良い。

ま、多分問題の誤記でしょ。2番も品のなさから見て誤記じゃないかな。

4番は(問題文の日本語がおかしいけど)良い問題だな。計算過程もちょっと面白くて、不定積分を
  ∫ √(1-cos(2πx)) dx = -(1/π) cot(πx) √(1-cos(2πx)) + C
とやると不連続な関数になってしまう。
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