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数列 1, 3/3, 5/3^2, 7/3^3, 9/3^4, ・・・・・・
(1)第n項を求めよ。
(2)初項から第n項までの和を求めよ。

言葉なども使って丁寧に教えていただけたら嬉しいです。
よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

(1)第n項を求めよ。


>分子は1,1+2,1+2+2,1+2+2+2...だから
1,1+2*1,1+2*2,1+2*3,1+2*4,.....1+2*(n-1)=2n-1
分母は3^0,3^1,3^2,3^3,3^4,.....3^(n-1)
よって第n項は(2n-1)/3^(n-1)・・・答
(2)初項から第n項までの和を求めよ。
S=1+3/3+5/3^2+7/3^3+9/3^4+.....+(2n-1)/3^(n-1)とおくと
S/3=1/3+3/3^2+5/3^3+7/3^4+9/3^5+.....+(2n-1)/3^n
辺々マイナスすると
S-S/3=1+2/3+2/3^2+2/3^3+2/3^4+.....+2/3^(n-1)-(2n-1)/3^n
=1+(2/3)*{1+1/3+1/3^2+1/3^3+.....+1/3^(n-2)}-(2n-1)/3^n
ここで1+1/3+1/3^2+1/3^3+.....+1/3^(n-2)は公比1/3の
等比数列の和だから、その公式により{3-(1/3)^(n-2)}/2
よってS-S/3=1+(2/3)*[{3-(1/3)^(n-2)}/2]-(2n-1)/3^n
=1+1-(1/3)^(n-1)-(2n-1)/3^n=2-3/3^n-(2n-1)/3^n=2-2(n+1)/3^n
左辺はS-S/3=(2/3)SだからS=3-(n+1)/3^(n-1)・・・答
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この回答へのお礼

とても参考になりました。
ありがとうございました。

お礼日時:2014/10/22 18:25

nが5以下の場合の第n項が示されていますが、第6項目以降を決定するための条件が見当たりません。



たとえばn≧6のとき第n項はすべて0かもしれません。

ですので、n≦5のときは(1)は明らかで(2)は素直に足し算すればいいのですが、n≧6のときは第n項はもちろん、初項から第n項までの和は不明としかいいようがありません。
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ANo.2の補足です。



(2)初項から第n項までの和
Sn=(3/2){2-1/3^(n-1)-(2n-1)/3^n}
これを展開して整理すると、次のようになります。
Sn=(3/2){2-1/3^(n-1)-(2n-1)/3^n}
=3-3/{2*3^(n-1)}-(2n-1)/{2*3^(n-1)}
=3-{3+(2n-1)})/{2*3^(n-1)}
=3-(2n+2)/{2*3^(n-1)}
=3-2(n+1)/{2*3^(n-1)}
=3-(n+1)/3^(n-1)
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この回答へのお礼

参考にさせていただきました。
ありがとうございました。

お礼日時:2014/10/22 18:26

(1)第n項


分母は、初項1、公比3の等比数列
分子は、初項1、公差2の等差数列
よって、第n項は(2n-1)/3^(n-1)

(2)初項から第n項までの和
初項から第n項までの和をSnとすると、
S4=1+3/3+5/3^2+7/3^3
(1/3)*S4=1/3+3/3^2+5/3^3+7/3^4
S4-(1/3)*S4
=(2/3)S4
=1+2/3+2/3^2+2/3^3-7/3^4
ここで、2/3+2/3^2+2/3^3は、初項2/3、公比1/3の等比数列の初項から第3項までの和になるから、
2/3+2/3^2+2/3^3
=(2/3)(1-1/3^3)/(1-1/3)
=(2/3)(1-1/3^3)/(2/3)
=1-1/3^3
これから、
(2/3)S4=1+1-1/3^3-7/3^4=2-1/3^3-7/3^4
S4=(3/2)(2-1/3^3-7/3^4)
同様に、
Sn=(3/2){2-1/3^(n-1)-(2n-1)/3^n}
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じっと眺めて、規則を考えると、


(1+2×(n-1))/3^(n-1)
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