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の導き方を教えていただけないでしょうか?よろしくお願いいたします

A 回答 (4件)

複素数をご存知ならオイラーの公式を使うとサインとコサインが一度に求まります。



オイラーの公式と言うのは
e^ix = cos x + i sin x
と言うものです。

これを使うと
e^i(a+b) = cos(a+b) + i sin(a+b)
ところでe^i(a+b) = e^ia・e^ibだから
e^i(a+b) = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b)

同様に
e^i(a-b) = cos(a-b) + i sin(a-b)
    = e^ia e^i(-b)
    = (cos a + i sin a)(cos b - i sin b)
この2式の両辺をくわえると
cos(a+b) + cos(a-b) + i(sin(a+b) + sin(a-b)) = (cos a + i sin a)(cos b + i sin b) + (cos a + i sin a)(cos b - i sin b)
    = 2(cos a + i sin a)cos b
    = 2{cos a cos b + i(sin a cos b)}
この実部と虚部とをそれぞれ比べて
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a cos b
sin(a+b) + sin(a-b) = 2 sin a cos b

後はa+b = A, a-b = Bとおけば、a = (A+B)/2, b = (A-B)/2だから

cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)

となります。
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一般的には加法定理ですが、例えば図形的にも導くことが出来ます。



分かりやすくするためxy平面で考えます。
まず、x軸となす角がaとなる、長さ1の線分を原点Oから引き、その線分の端を点Aとおきます。
次に、x軸となす角がbとなる、長さ1の線分を点Aから引き、その線分の端を点Bとおきます。(ここではb>aとする)
この点Bからx軸へ垂線を降ろし、x軸との交点を点Hとします。
この時、線分BHの長さは
「点Aの高さ」と「点Bと点Aの高さの差」を足し合わせたものになりますので、
 BHの長さ=OAの長さ * sin(a) + ABの長さ * sin(b)
       =sin(a)+sin(b) ・・・・・(1)
となります。
一方、三角形OABを考えると、この三角形は二等辺三角形(OA=AB=1)なので、角AOBは (b-a)/2 となります。これより線分OBの長さは
 OBの長さ=2 * AOの長さ * cos(b-a)/2=2cos(b-a)/2
となります。
最後に、三角形OBHを考えると、
 角BOH=a + 角AOB=a+(b-a)/2=(b+a)/2
となるので、線分BHの長さは
 BHの長さ=OBの長さ * sin(b+a)/2
       =2cos(b-a)/2 * sin(b+a)/2
       =2sin(b+a)/2cos(b-a)/2
(1)より BHの長さ=sin(a)+sin(b) なので
sin(a)+sin(b)=2sin(b+a)/2cos(b-a)/2  となります。

なんだか複雑に見えますが、実際に描いてみればそうでもないことが分かります。
これなら、加法定理を知らなくても導けます。
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私がつい最近、学校で習ったやり方で良いでしょうか…?


三角関数の和→積の公式ってsinA+sinB=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)の事ですよね?これは積→和の公式をつかって導いていくらしいんです。
α+β=A、α-β=Bとして辺々を加えると
2α=A+Bとなってα=A+B/2となる
同様に辺々を引くとβ=A-B/2となる
これらを積→和の公式sinαcosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}に代入すると
sin(A+B/2)cos(A-B/2)=1/2(sinA+sinB)となり
sinA+sinB=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)となる。

私はこういう風に習いました。お役に立てるかどうか…。
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sin(a+b)=sin a cos b+sin b cos a  (1)


sin(a-b)=sin a cos b-sin b cos a (2)
この2式をたすと
sin(a+b)+sin(a-b)=2sin a cos b
となりますね。ここで a+b=A,a-b=B とおくと
a=(A+B)/2,b=(A-B)/2 ですから代入すると
sin A+sin B=2sin(A+B)/2 cos(A-B)/2
となって和積公式が出てきます。
ほかの和積公式は(1)から(2)を引いたり
cos(a+b),cos(a-b)をたしたり引いたりして
上と同じようなことをすれば出てきます。
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