これからの季節に親子でハイキング! >>

体積が1の正四面体の各辺の中点を頂点とする正八面体の体積を求めよ。
という問題が解けなくて困っています。回答解説して頂けるとありがたいです

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (3件)

一辺1の正四面体(体積V=(√2)/12)は一辺が1/2の小正四面体を4個とり除けば求める正8面体が残るので



正8面体の体積=V(1-4(1/2)^3)=V/2=(√2)/24 …(答)
となります。
    • good
    • 1

>体積が1の正四面体の1辺の長さはa=(12/√2)^(1/3)


その1/2を1辺の長さとする正四面体の体積は
(√2/12){(1/2)*(12/√2)^(1/3)}^3
その4倍を元の体積から引けばよいので、求める体積は
1-4*(√2/12){(1/2)*(12/√2)^(1/3)}^3=1/2・・・答
    • good
    • 0

頂点をちょん切っただけ, でしょ? なにがわからんの?

    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q正四面体の問題

辺の長さが1の正四面体の、対する辺の中点を結ぶ線分の長さを求めよ.

という問題なのですが、
中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから、三平方の定理で求められると思うのですが、
>中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから
のところで、何故直角になるというところがよくわかりません。
なぜ直角になるのか教えて下さい。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

stripeさん、こんにちは。

>対する辺の中点を結ぶ線分の長さを求めよ.

対する辺、というのがよく分からないのですが
正四面体を、A-BCDとしますと(てっぺんの頂点をAとする)
ABの中点Pと
CDの中点Qを結ぶ直線PQは
PQ⊥CD、PQ⊥AB
ということ、でしょうか?

>中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから
のところで、何故直角になるというところがよくわかりません。

う~ん・・どうしたらいいのかなあ。
真上から、真下を見る感じで、正四面体を見てみましょうか。
底面は、正三角形BCDです。
その真ん中に、点Aが位置するのが分かると思います。
(真ん中に、というのは、各点B,C,Dから等距離に)
ここで、CDの中点Qと、線分ABは、同一直線上にくるんですが
それはいいでしょうか?
なぜかというと、正四面体は、左右対称なので
BQを通る直線で、底面BCDに垂直に、すぱっと半分に切ると
その切り口に、点Aは絶対きますよね?
AもBも、切り口上にあるので、ABの中点Pも当然切り口上にあります。
ということで、B,P,A、Qは同一直線上にあると分かります。
次に三角形DQBと三角形CQBにおいて、
DQ=CQ=1/2
DB=CB=1
∠D=∠C=60度から
それぞれは、60°30°90°の直角三角形

なので、DC⊥PQ
(これは、あくまで上からぺっしゃんこの形に正四面体を見たときです)

さて、今度は立体的に考えるんですが
さきほど、CDに⊥でCDの中点Qを通る面で、すぱっと切ると
その切り口に、B,B,Pは乗っているといいましたよね。
今度は、正四面体を、立てて、側面ABQから見た図を描きましょう。

ピタゴラスの定理より、BQ=√(1^2-(1/2)^2)
BQ=√3/2
同じく、AQ=√3/2
AB=1
となるので、三角ABQは、AQ=BQの二等辺三角形。
AP=BPより、AB⊥PQで
(二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を二等分する)
△BPQは直角三角形。

よってピタゴラスの定理から
PQ^2=BQ^2-BP^2
=(√3/2)^2-(1/2)^2
=3/4-1/4
=1/2
PQ>0より、PQ=1/√2=√2/2

なんか、ややこしい説明になってしまったかも。
上から、正四面体を、ぺっちゃんこの平面ととらえて見ることと、
△ABQが二等辺三角形になるのが分かればいいと思います。
頑張ってください。

stripeさん、こんにちは。

>対する辺の中点を結ぶ線分の長さを求めよ.

対する辺、というのがよく分からないのですが
正四面体を、A-BCDとしますと(てっぺんの頂点をAとする)
ABの中点Pと
CDの中点Qを結ぶ直線PQは
PQ⊥CD、PQ⊥AB
ということ、でしょうか?

>中点と中点を結んだ線分と、辺が直角になるから
のところで、何故直角になるというところがよくわかりません。

う~ん・・どうしたらいいのかなあ。
真上から、真下を見る感じで、正四面体を見てみましょうか。
底面は、正三角形B...続きを読む


人気Q&Aランキング