V が線形空間で b がある線形結合における元の集合
  <A1,A2,A3,・・・・,Ar>
に含まれているとき、この線形結合に b を加えた集合と、もとのこの線形結合における元の集合と、イコールになることの証明方法を教えてください。よろしくお願いします。。。
  <A1,A2、A3,・・・・Ar、b>=<A1,A2,A3、・・・・Ar>
を証明したいのです。

A 回答 (2件)

<A1,A2,A3,・・・・,Ar>


={x=x1A1+x2A2+...+xrAr | x1,x2,...,xrはスカラー(実数とか)}
のことですよね。だから
(1) b=b1A1+...+brAr
とかけます。さて
P=<A1,A2、A3,・・・・Ar、b>
Q=<A1,A2,A3、・・・・Ar>
とおくとP=Qを示したいのですから
P⊂Q,とP⊃Q の2つが成り立っていることをいえばよいですね。
P⊃Q は明らかですからP⊂Qを示します。
x∈Pとすると
x=x1A1+x2A2+...+xrAr+yb
=x1A1+x2A2+...+xrAr+y(b1A1+...+brAr)   (∵(1))
=(x1+yb1)A1+(x2+yb2)A2+...+(xr+ybr)Ar
となり、これはx∈Qであることを意味しますよね。
よってP⊂Q がいえたのでP=Qが示せました。
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この回答へのお礼

今日テストだったんですけど、この問題がばっちり出ました。おかげでばっちり証明できました。
ありがとうございます。

お礼日時:2001/06/11 18:13

b がある線形結合における元の集合


  <A1,A2,A3,・・・・,Ar>
に含まれている
この仮定から自明な気がしますが・・・
だって、A1からArのどれかがbと等しいってことですよね?
全然違ってたらごめんなさい。
なんせ10年前のことなんで(^_^;)
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