今、相対論でテンソルの勉強をしているものですがテンソルがいまいちよくわかりません。そこで質問なのですが
1・基本テンソル(二階の上つきでも下つきでも(g^μνとか))って基本ベクトルの内積なんですよね。じゃあスカラーなんじゃないんですか?

2・混合テンソルの基本テンソルは
上つき基本ベクトルと下つき基本ベクトルの内積と考えていいんですか?

何かとわからないところが多くて困ってますどうかわかりやすいご説明お願いいたします。

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A 回答 (1件)

内積ではなくて直積ではないでしょうか?


下記URLを参照してみてください

参考URL:http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/rel …
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。参考になりました。

お礼日時:2001/06/20 02:28

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Qベクトルの外積 軸性ベクトルについて

私は理系の大学に通っている3回生です。
いま連続体力学という授業のなかで、ベクトルを勉強しています。
授業のなかで
ベクトルの外積A×Bは軸性ベクトルであることを証明せよ。
という証明問題がでたのですが、どうしてもわかりません。

どなたかわかる方
解説お願いします。

Aベストアンサー

 極性ベクトル(普通のベクトル)と軸性ベクトル(擬ベクトル)の説明って、ちゃんとされないと思うんですよね。しかもそれに数学の線形代数のベクトルの(線形空間の)定義が重なって、余計わけわかんなくなる・・・。

 まず#1さんの方法は、最も簡単なものです。

次に・・・、次に出す言葉でびびらないで下さいね。

  ・軸性ベクトルとは、2階の反対称テンソルの省略記法です.

 2階のテンソルとは、添え字の足2つという事で、たんなる行列です。反対称なんだから、2階の反対称テンソルとは反対称行列の事です。

 3次元の場合の反対称行列を考えると、対角成分全部0に固定で、独立な成分は、非対角成分の上半分か、下半分の3個です。
 独立成分3個である事を強調して、「3個で3次元だから、ベクトル形式で表すと便利だよなぁ~」という事で、軸性ベクトルが導入されます。
 この反対称行列Rは、回転行列をA(θ),単位行列をE,(極性)ベクトルをx、回転によるベクトル移動をδxとして、

 δx=(A(θ)-E)x

を考え、θ→0の1次の項だけ考慮して、R=A(θ)-Eで定義されるので、結局回転移動を表しています。ここらあたりは、ゴールドスタインの古典力学に、明快な説明があります。

 極性ベクトルxと軸性ベクトルrの違いは、ベクトルと行列の変換性の違いです。Sを基底変換行列とすれば、ベクトルと行列はそれぞれ、

 x'=Sx
 R'=S^(-1)RS(≠Sr)

という変換を受けるので、「違うにきまってるじゃないか!」となります(Sが直交変換の時は、=Srになりますが)。
 特にSを座標反転だとすれば、x'にはSのー符号が作用して反転しますが、S^(-1)RSだと(-)×(-)=+1で反転しない事になります。

 さらに事情を悪くしているのが、線形代数におけるベクトルの定義です。軸性ベクトル全体を集めて集合V'をつくると、なんとV'はベクトル空間の公理を全て満たして、ベクトル空間になってしまうんですよね。なので線形代数の立場では、軸性ベクトルもベクトルです。

 「ベクトルの外積A×Bは軸性ベクトルであることを証明せよ」で本質的に問われている事は、以下です。

 極性ベクトルのベクトル空間Vを考えたとき、それを土台にして定義された軸性ベクトルのベクトル空間V'は、果たして、もとのVと同じものか?

です。

 極性ベクトル(普通のベクトル)と軸性ベクトル(擬ベクトル)の説明って、ちゃんとされないと思うんですよね。しかもそれに数学の線形代数のベクトルの(線形空間の)定義が重なって、余計わけわかんなくなる・・・。

 まず#1さんの方法は、最も簡単なものです。

次に・・・、次に出す言葉でびびらないで下さいね。

  ・軸性ベクトルとは、2階の反対称テンソルの省略記法です.

 2階のテンソルとは、添え字の足2つという事で、たんなる行列です。反対称なんだから、2階の反対称テンソルとは...続きを読む

Q異なる物理量成分を持つベクトルのノルム・内積

並行して質問を立てることご容赦下さい..

タイトルの通りなのですが,
例えば(位置,速度)=(x, dx/dt)でプロットした位相空間中で,
その座標中の2点,A(x1,dx1/dt),B(x2,dx2/dt)でノルムや内積を単純に,
||A-B|| = sqrt((x1-x2)^2 + (dx1/dt-dx2/dt)^2)
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としてしまうと,次元が異なる物理量の和となってしまいます.
そこで別のこれら定義を行うのでしょうが,困ってしまっております.
どのように定義するのかについて,宜しくご教授下さい...

実は連立方程式をいじっていて,あるベクトルを定義したのですが,
このベクトルがヒルベルト空間の元であって欲しいのですが,
成分毎の次元が異なっており,上記で悩んでしまっております.
私が初歩的なところを体得していないからだと思います,ご叱正覚悟しております..

Aベストアンサー

mmkyです。
参考まで
(位置,速度)=(x, dx/dt)でプロットした位相空間中ということですが、位置は物理量ではありません。ある点を示すというラベルのようなものです。だから取り扱うことは出来ると思います。つまり、(x, dx/dt)は、ラベルxでの速度というような取り扱いです。

一方、位置から位置の差(x1-x2)を長さの物理量として取り扱うことが出来ますが、そうすると位置かける位置(x1*x2)の物理量が不明になります。
ということで、(x1-x2)も(x1*x2)もラベル(物理単位なし)で取り扱えば
いいのではないでしょうか。
役にたつかどうか。
参考まで

Qテンソル積の計算を具体的に教えて下さい

|b><a| の計算方法は、わかります。
テンソル積|b>|a> の計算方法を調べてみて、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E7%A9%8D_%28%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%29
を読みましたが、|b><a| と違いがわかりません。
そもそも、テンソル積|↑>|↓> の結果は、状態ベクトルではないのでしょうか?
(例えば、系全体の状態=|↓>|↑>+|↑>|↓> と言う場合)
結果が行列なら、状態ベクトルではなく 密度行列と思うのですが、、、
|a>が縦ベクトル


で、|b>が縦ベクトル


の場合、テンソル積|b>|a>は、どうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

#1に対する質問として

>計算例、ありがとうございます。
1x3, 1x4
2x3, 2x4
と思いますが、これは 横ベクトル(1,2)と(3,4)のテンソル積
でよいでしょうか?
縦ベクトルの場合、
1
2

3
4
のテンソル積では、(1,2)*(3,4)T となり
1x3,2x3
1x4,2x4
で合っているでしょうか?

が通常の記法でいえば間違いです。

2つのベクトルA↑、B↑からテンソル積Cを作る場合、C=A↑◎B↑と記すとすれば(◎はテンソル積の演算)

演算上A↑は縦ベクトルB↑は横ベクトルであることが必要です。

(1,2)*(3,4)Tでいえば、(1,2)は横ベクトル、(3,4)Tは横ベクトル(3,4)を転置したものとして縦ベクトルです。よって(1,2)*(3,4)Tはスカラーしか作れません。2*2テンソルを作るためには縦ベクトル*横ベクトルであることが必要です。

Q「力のつりあい」はベクトル量でなくスカラー量?

画像の図の力のつりあいにて、
P=P0+ρSg
となってますが、「力」ではなく「力のつりあい」ならベクトルは関係無いんですか?

Aベストアンサー

 「圧力」は、「面に垂直な力」です。「面」を考えずに「圧力」は存在しません。「風船」を考えれば、表面の全ての垂直方向に「圧力」が働いています。
 「圧力のつりあい」は、あくまで「その面」についてのつりあいであり、「その面に垂直なベクトル」と考えれば「ベクトル」です。

 図でいえば、Sという平面は、水面に平行な面である必要はありません。船の底のように、垂直でも斜めでもかまいません。
 その平面の深さ h の位置の圧力が

   P=P0+ρ*h*g

ということです。考える「面」によって方向が変わります。

 たとえば、水面に垂直な面を考えて、上端が深さ h1 、下端が深さ h2 、幅が W であれば、

  上端の圧力 P1 = P0+ρ*h1*g
  下端の圧力 P2 = P0+ρ*h2*g
  平均の圧力 Pa = P0+ρ* [(h2 + h1)/2] *g

で、この面に働く力は、

   F = W * (h2 - h1 ) * Pa

の「横向き」になります。(考えている「水面に垂直な面」の垂直な方向である、水平方向)

 水没して、まだ中が空気である自動車で、ドアが水圧で開かずに脱出できない、というのは、こういうことです。

 「圧力」は、「面に垂直な力」です。「面」を考えずに「圧力」は存在しません。「風船」を考えれば、表面の全ての垂直方向に「圧力」が働いています。
 「圧力のつりあい」は、あくまで「その面」についてのつりあいであり、「その面に垂直なベクトル」と考えれば「ベクトル」です。

 図でいえば、Sという平面は、水面に平行な面である必要はありません。船の底のように、垂直でも斜めでもかまいません。
 その平面の深さ h の位置の圧力が

   P=P0+ρ*h*g

ということです。考える「面」によって方向...続きを読む

Q内積と外積の物理的意味を教えてください

内積と外積の物理的意味がわからないです。
内積は結果がスカラーになり、外積は方向と大きさをもつベクトルになるということはわかるのですが、「物理的意味」ということがよくわかりません。

Aベストアンサー

すいません、URL張り忘れました。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/product.html


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