No.2ベストアンサー
- 回答日時:
nが自然数としてお答えします。
この計算はnが奇数か偶数かで必要な手間が異なる。
nが奇数の場合は結構楽。n=2k+1とする。
t=cosxとおく。(t=sinxではない。理由は計算過程ですぐにわかる。)
(sinx)^(2k+1)=(sinx)*{(sinx)^2}^k=(sinx){1-(cosx)^2}^k
となる。
ここでsinx=-(cosx)'であることを使い置換積分する。
∫(sinx)^ndx=∫{1-(cosx)^2}^k -(cosx)'dx=-∫(1-t^2)^k dt
あとは(1-t^2)^kを展開して積分すればよい。
nが偶数の場合は面倒ですね。
(sinx)^n=(sinx)(sinx)^(n-1)として部分積分をしてみるとよいでしょうか。
すると得られた式の中に∫(sinx)^ndxがもう一度現れますのでそれを∫(sinx)^ndxについて解くと∫(sinx)^ndxと∫(sinx)^(n-2)dxの漸化式が得られます。これで次数を下げていくことになるでしょう。
高校数学の範囲を逸脱しますが
sinx={e^(ix)-e^(-ix)}/(2i)
の関係式と2項定理を用いて計算する方法もあります。
この式から(sinx)^nをsin(nx),sin{(n-2)x},...の線形結合として表し計算します。
この方法で計算すると結構シンプルな形に落ち着くはずです。
(以前計算した時には(sinx)^6でも5分とかからずに計算できました)
No.1
- 回答日時:
下記のurlに結果が出ていますが、漸化式に従って指数を下げていく形の解が得られています。
この漸化式は部分積分または置換積分によって導かれますが、しんどいばかりであまり面白くないので
自分で追求したことはありません。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …
この回答へのお礼
お礼日時:2014/11/18 16:13
ありがとうございます(^^♪
物凄く複雑な感じになってしまうんですね(^^ゞ
{(sinx)^n}’の結果を積分すると元に戻るんですよね?
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