低域遮断周波数のコンデンサの式について

こんばんは。
低域遮断周波数のコンデンサの３つの式について、質問したいです。

１）Ｃ１＝1/{2πfC(RS+zi)}（入力側の式）

　RSは信号発生源の内部抵抗を表し、ziは入力インピーダンスを表すということです。
　zi=R1∥R2∥hie　ということです。

　この場合の、hieの求め方は「IC電流を求めて、グラフより読み取る」というのが正しいのでしょうか？
　
　また、R1∥R2∥hie　の求め方として、先生は値の小さいものを、合成抵抗として使えば、問題ないとおっしゃっていましたが、いいのでしょうか？

２）Ｃ２＝1/{2πfC(R3+R5)}（出力側の式）

　先生がコツとして、等価回路にしたときに両脇の抵抗を足せばいいとおっしゃっていました。
　けれど、R3とR5は等価回路にしたとき、並列接続にならないでしょうか？
　
３）Ｃ３＝hfe/{2πfC*(hie)}（何のための式か、よく分かりません）

hfeやhieが出てくる理由がよく分かりません。

　よろしくお願いします。

※添付画像が削除されました。

No.1 回答者： High_Score 回答日時： 2014/11/28 02:16

遮断周波数から容量を求める式の、導出をしてみるべきです。

先生の話は数学的な導出などは終了したぜんていです。「実験的には少々値が違っても大丈夫。乱暴に言うと桁があってりゃいい」と言ってるに過ぎません。

高周波等価回路において、直流電圧源はゼロボルトつまり短絡と同じです。これを考慮して出力のコンデンサ周りを見ると、R3とR5の直列接続がCと並列接続されてます。

C3
エミッタ抵抗は負帰還用としてバイアス電流を安定化する為に付けてます。動作原理を確認すればわかりますが、エミッタ抵抗に高周波電流が流れると増幅でなく減衰作用を持ちます。バイパスコンデンサC3は高周波電流をエミッタ抵抗に流さない目的で付いてます。どの程度の値が必要かは、エミッタ抵抗にどの程度流れたら増幅に影響するか算出し遮断周波数から決定されるので、結局はトランジスタのhパラメータも含みます。

No.2 回答者： xpopo 回答日時： 2014/11/28 14:29

今日は。

１） hieは以下のように計算で求める事が出来ます。

　hie＝Vbe／ib＝hfe／gm　　（１）

　ここでgmは動作点のコレクタDC電流をIc、熱電圧をVT{VT＝k*T/q　（k:ボルツマン定数、T：絶対温度、q：電子素量）}として

　　gm＝Ic/VT≒Ic/26mV　（at　25℃）　　　（２）

で与えられます。
　この回路の場合、VbはR1とR2で電源12Vを分圧してますから、

　　Vb＝12V×10k／（34.3k+10k）＝2.7V

になります。またQ１のエミッタ電流Ieはエミッタ電圧をエミッタ抵抗R4で割ればよいので

　Ie＝（Vb－VBE）／R4＝（2.7V－0.7V）／1k＝2mA

HFEが十分大きければエミッタ電流はコレクタ電流Icに等しくなるので

　Ic≒Ie＝2mA

式（２）に代入して、

　gm＝2mA/26mV＝77m モー

直流増幅率hfeを100としてこれを式（１）に代入してhieは

　　hie＝hfe／gm＝100/77m モー=1300Ω

という風に計算で求められます。

２）　
＞　Ｃ２＝1/{2πfC(R3+R5)}（出力側の式）
＞
＞　先生がコツとして、等価回路にしたときに両脇の抵抗を足せばいいとおっしゃっていました。
＞　けれど、R3とR5は等価回路にしたとき、並列接続にならないでしょうか？

　　まず、計算としては並列になりますが、コレクタの抵抗R3の値が出力に接続された抵抗R4に比べて非常に小さいので計算上、R3＋R5の形で計算が簡単になります。

　コレクタのポイントVcに対してトランジスタはコレクタ電流を流す電流源として動作します。それはコレクタ－エミッタ間の等価的な抵抗値が100kΩ程度の大きな値になってることが理由です。そして電流源の電流は　抵抗R3とコンデンサC2に流れますが、抵抗R5が抵抗R3に比べて非常に大きいために信号源の電流は殆ど抵抗R3に流れます。その結果、電流源の電流に抵抗R３の値を掛け算すればVcのポイントの電圧信号が得られます。これで抵抗R3が信号源に直列に変換されたことになります。あとは普通に定数を計算すれば、
　
　Ｃ２＝1/{2πfC(R3+R5)}

が導出できます。

３）
＞　Ｃ３＝hfe/{2πfC*(hie)}（何のための式か、よく分かりません）
＞
＞hfeやhieが出てくる理由がよく分かりません。

　これは添付図（等価回路）を参照して以下に説明します。
回路での入出力電圧の電圧比　Ve／Vb　を以下のように求めます。

　まず、エミッタポイントでキルヒホッフの電流の和の式を立てます、

　（Vb-Ve）／hie＋hfe*ib＝Ve／Ze　　　(1)

この式でZeは抵抗R4とコンデンサC3による並列インピーダンスです。

　また、Veは

　Ve＝ib*(１＋hfe)*Ze　　　(2)

で表されます。式(1)と(2)よりibを消去して整理すると

　Ve／Vb＝Ze／[{1＋(1＋hfe)*Ze／hie}／hfe]／hie　　(3)

式(3)は　hfe>>1　より

　Ve／Vb＝Ze／{(1＋hfe*Ze／hie)／hfe}／hie
　　　　　　＝Ze*hfe／{(hie＋hfe*Ze)hie}／hie
　　　　　　＝Ze*hfe／(hie＋hfe*Ze)　　　　　(4)

ここで式(4)に

　Ze＝R4*(1/jωC3)／{R4＋(1/jωC3)}
　　　＝R4／(1＋jωC3R4)　　　　　　　　　　　(5)

を代入して、

　Ve／Vb＝hfe／{1＋jωC3*hie／(hfe＋hie／R4)}　　　(6)

式(6)よりコーナ周波数ωcは

　　　　ωc＝(hfe＋hie／R4)／(C3*hie)
　　　　　　＝(hfe／hie＋１／R4)／C3　　　(7)

式(7)で　hfe>>1、R4=1kΩ、hie=1.3kΩ、すなわちR4≒hieなので式(7)の括弧の中の第２項は無視できるので、式(7)は

　　　　ωc＝(hfe／hie)／C3＝hfe／hie／C3　　　(8)

と簡略化できます。式(8)で　ωc＝2πfc　とおいて、C3について解けば

　　C3＝hfe／{2πfc*(hie)}

と求められます。

No.3 回答者： xpopo 回答日時： 2014/11/28 17:29

回答NO.2です。

回答に誤りがありましたので以下のように訂正いたします。

　　　　　　　　　　　　記

式（５）の次の行より下の文章を全て以下の内容に差し替えてください。


を代入して、整理すると

　Ve／Vb＝1／{(hie／hfe)／R4＋1＋jωC3*(hie／hfe)}　　　　　　(6)

ここでR4≒hie≒1ｋΩ、　hfe=100　とすれば式（６）は

　Ve／Vb＝1／{1＋jωC3*(hie／hfe)}　　　(7)

　　　　
式(7)よりコーナ周波数ωcは

　　　　ωc＝hfe／(C3*hie)　　　　　　(8)

となり。式(8)で　ωc＝2πfc　とおいて、C3について解けば

　　C3＝hfe／{2πfc*(hie)}

と求められます。

No.4 回答者： xpopo 回答日時： 2014/11/28 19:11

回答NO.2です。

回答で御質問の１）の次の質問に回答してませんでしたので、追加で回答します。

＞　また、R1∥R2∥hie　の求め方として、先生は値の小さいものを、合成抵抗として使えば、問題ないとおっしゃっていましたが、いいのでしょうか？

回答＞＞
　ここでは実際のそれぞれの値が　R1=34.3ｋΩ、R2=10kΩでhie=1.3kΩなので、hieが他の2つの抵抗に比べて1/10程度なので合成抵抗は小さいもの、　hie（1.3kΩ）　に近い値になりますのでhieを合成抵抗として使っても大きな誤差は無く問題がない、ということです。