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すいません、お世話になります。

スピンの上昇下降演算子S^{+-}ってありますよね?
第二量子化を行うとどうなりますか?

特別な場合としては、スピンが1/2スピンの集合の時には、
粒子の番号iを用いて、
S^+ = Σ_i c^†_{i↑} c_{i↓}
S^- = Σ_i c^†_{i↓} c_{i↑}
でよいと思います。

知りたいのは、一般のスピンの場合です。

例えば、粒子のスピンが|S=1,m_S=1>に作用させると、
下降演算子S^-を作用させると、
S^-|S=1,m_S=1>
= \hbar √(S + m_S)(S - m_S + 1)|S=1,m_S=0>
= \hbar √2|S=1,m_S=0>

分かっていますよね。これをcを用いて表すと、
どうなるのでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

大学で物理の研究と教育をやっている siegmund です.



おっしゃるとおり S=1/2 に対しては
S^+ = Σ_i c^†_{i↑} c_{i↓}
S^- = Σ_i c^†_{i↓} c_{i↑}
ですね.
式も注意深く書かれて,見やすいし誤解のおそれもありません.
LaTeX お使いのようですから当然ですかね(偉そうに聞こえましたら失礼).
念のため
S^z = (1/2)Σ_i (c^†_{i↑} c_{i↑} - c^†_{i↓} c_{i↓})
で,c^† と c は それぞれフェルミオンの生成と消滅の演算子.

さて,S>1/2 に対してですが,上のような(あるいは簡単に拡張した)表式は存在しません.
パウリ原理によりフェルミオン個数は0か1に限定されていますので,
例えば S=1 は表現できないのです.

それならばフェルミオンを2種類持ってくればいいのではないか?
確かにそうですが,それは S=1/2 を2個持ってきて S=1 を表すことになります.
そうすると,角運動量合成により S=1/2 が2個からは
S=1 で S^z = +1,0,-1 および S=0 の状態が生成されます.
波動関数で言えば,順に
|↑↑>,(1/√2)(|↑↓> + |↓↑>),|↓↓>,(1/√2)(|↑↓> - |↓↑>)
で,最初の3つがいわゆる3重項状態(triplet),最後が1重項状態(singlet)です.
したがって,単にフェルミオンを2種類持ってくると S=1 より余分な状態
(つまり S=0 状態,あるいは singlet 状態)が入ってきてしまいます.
これを取り除くように拘束条件を付ければよいのですが,
その拘束条件は各スピン毎に必要で(こういうのを局所的拘束条件といいます),
具体的問題が与えられたときに取り扱いが非常に困難です.

以上のような事情で普通の教科書には S>1/2 のフェルミオン表現が書かれてないのです.
研究論文レベルではそういう試みもあります.

フェルミオンでなくてボソンを使えば1種類で済みますが,
ボソンだと個数が何個でも可能ですから,今度は個数が 2S 個以下という拘束条件
(各スピンに必要なのでまた局所的)が必要になります.
ボソンを使う方法だと,Holstein-Primakoff 変換,Dyson-Maleev 変換,Schwinger ボソン法,
などがあります.
また,1次元の S=1/2 スピン系に限ってはフェルミオンで表す方法(質問とは違った変換)として
Jordan-Wigner 変換があります.
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この回答へのお礼

おお、お褒めの言葉、そして、的確なご回答をありがとうございます^^。

やはりフェルミオンであるか、ボソンであるか、
を設定することを避けることはできないのですね。

そうですか、フェルミオンに対しては、
局所的拘束条件というものがあるのですか。
覚えておきます。

僕は、大学に残れず、趣味で物理をやっているのですが、
Holstein-Primakoff変換は、僕の修士の時の研究で、
スピン波に関して、ちょっと触れました。
なるほど、今見返してみたら、確かに自分の疑問に対する
解答になっています。

今回、siegmundさんに、物理の展望を広げて頂けて、感謝です。
本当にありがとうございましたm(_ _)m。

お礼日時:2014/12/07 22:42

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Qスピン演算子とフェルミ演算子

各原子に電子が1個だけいる状態空間の中では、大きさ1/2のスピン演算子S_iと原子i上のスピンσの電子の生成・消滅演算子c_iσとの間に

1/2(c_iu^* c_iu - c_id^*c_id)=S_i^z …(1)
c_iu^* c_id = S_i^+ …(2)
c_id^* c_iu = S_i^- …(3)

(uはアップ、dはダウン,*はダガーを表しています。)

という関係式が成り立つらしいのですが、証明できません。
どなたか教えてください。

ちなみに斯波さんの「固体の電子論」で出てきました。ハバード模型の二次摂動エネルギーをスピン演算子で書き換えるという部分です。

Aベストアンサー

もっとスマートな方法があるかもしれませんが…

電子の生成消滅演算子を
c_iu^*:=u*, c_iu:=u
c_id^*:=d*, c_id:=d
とします。

電子がiサイトにいない状態:     |0>
上向きスピンiサイトにいる状態: u*|0>:=|+>
下向きスピンiサイトにいる状態: d*|0>:=|->
とします。

今考えているのは、電子がiサイトに1個ある状態ですから
系の取りうる状態としては上に定義した|+>、|->。これらを
基底として(1)~(3)の演算子がどのような
行列表示を持つか見てみます。

(1)の場合:
<+|S_i^z|+>=1/2・<0|u(u*u-d*d)u*|0>=1/2
<+|S_i^z|->=1/2・<0|u(u*u-d*d)d*|0>=0
<-|S_i^z|+>=1/2・<0|d(u*u-d*d)u*|0>=0
<-|S_i^z|->=1/2・<0|d(u*u-d*d)d*|0>=-1/2
となり、S_i^zの行列表示は2×2の行列で対角成分は1/2と-1/2、
対角成分以外は0となります。これはスピン1/2のz成分の演算子
の行列表示と同じです。
(2)、(3)も同様に計算すると
S_i^+,S_i^-の行列表示ははそれぞれスピン1/2の昇降演算子の
行列表示に対応していることがわかります。

またS_i^z,S_i^+,S_i^-の交換関係を電子の生成消滅演算子の
反交換関係を使って直接計算しても、対応する角運動量の
交換関係が得られます。

もっとスマートな方法があるかもしれませんが…

電子の生成消滅演算子を
c_iu^*:=u*, c_iu:=u
c_id^*:=d*, c_id:=d
とします。

電子がiサイトにいない状態:     |0>
上向きスピンiサイトにいる状態: u*|0>:=|+>
下向きスピンiサイトにいる状態: d*|0>:=|->
とします。

今考えているのは、電子がiサイトに1個ある状態ですから
系の取りうる状態としては上に定義した|+>、|->。これらを
基底として(1)~(3)の演算子がどのような
行列表示を持つか見てみます。

(1)の場合:
<+|S...続きを読む

QtanhXの近似式について

三角関数のtanhで
 tanhXでX→0の時、tanhX=X
 X→∞の時、tanhX=1
という近似式が成り立つと教科書に書かれているのですが、なぜ成り立つのでしょうか?証明の仕方を教えていただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ヒントだけ...。

[定義]
  tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) = {e^(+x) - e^(-x)}/{e^(+x) + e^(-x)}

・ x=0 の近傍での一次近似
  e^(±x) ≒ 1±x

・ x →∞のとき、e^(+x)→∞、e^(-x)→ 0

あとは、定義へ代入、です。

---------------------------
>tanhは双曲線関数というようですね。

左様。


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