極限の問題です

lim((ax+b)/(x-1))=2
x→1
この問題でa=2,b=-2になるまではわかったのですが、それから「そのa=2,b=-2を左辺に代入して2になるので答えはa=2,b=-2である」と書いてあったのですがなぜ代入して確かめなければいけないのか教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： akn1aj 回答日時： 2004/06/08 17:40

＞…lim(x→1）{(ax + b)/(x - 1)}= 2…(1)、この問題でa = 2, b = - 2になるまではわかったのですが、…

どう、わかったのですか？どのように回答したかで、違うのです。ピン、減点にもなるのです。
「極限値が有限確定値をもつ」ことと「その値が2である」ことを分けて考えましょう。次のように回答すれば、実質代入して確かめていることになるので、OKです。
まず(1)の左辺で分母 = x - 1 →0 (x→1)…(2)ですから左辺が有限確定値（収束値）をもつためには「必要条件」として、ax + b→0 (x→1)…(3)でなければならない。従って、b = - a…(4)。このとき、(1)の左辺 = lim(x→1）{a(x - 1)/(x - 1)}= a…(5)　これと(1)の右辺より、a=2…(6)。(4)よりb = - 2…(6)。つまり、a = 2, b = - 2。
肝心なことは、(4)の条件は「極限値が有限確定値をもつ」ための「必要条件」であって、「十分条件」ではないことです。この明記と認識のもとに、(5)は極限値aを求めていることで、(6)は「その値が2である」であることをいっているわけです。…わかりましたか、「そのa = 2, b = - 2を左辺に代入して2になるので答えはa = 2, b = - 2 である」とは「a = 2, b = - 2のとき、確かに極限値は2となる」という、「十分条件」でもあることをいっているのです。このいいかたは「極限値はaで、その値が2であるからa = 2。また(4)より b= - 2」としてもいいわけで、確かめていることになるわけです。いずれにせよ、「代入して確かめている」のは「十分条件」でもあることをいってます。この「十分条件」でもあることは言及しなければ、減点されてもしかたありません。

No.4 回答者： mmky 回答日時： 2004/06/08 17:41

参考程度に

極限の問題としての回答形式ということですね。

まずaとbを求めるために等式
(ax+b)/(x-1)=2
を解いたんですね。
(ax+b)=2(x-1)=2x-2
両辺を比較してa=2, b=-2
ここまでは題意の極限の問題ではないですね。
等式を解いただけですね。
極限の問題としては、a=2, b=-2　を代入して、
xの値をx→1　とした場合、(x-1)→0
分母分子とも0に近づくが比は常に２と
なりますね。
lim{(2x-2)/(x-1)}
x→1
=lim{2ε/ε}=2
ε→0
ということを答えるものでしょうね。
だから極限の問題としての回答形式ということですね。

No.2 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/06/08 17:36

解を求めるのにどういう求め方をしているか、です。

普通にやっていればそこまで確認を要求するのはちょっと
行き過ぎの気もします。

極限値を持つために
まず　lim（ａｘ＋ｂ）＝０　（ｘ→１）は必要です。
これより　ａ＋ｂ＝０　が必要条件です。

このとき
与式＝lim（ａｘ－ａ）/（ｘ－１）＝ａ
という極限値が求まります。これは決まりますから
十分である（極限値を持つ）ことが確認できたと考えていいでしょう。
よってａ＝２，ｂ＝－２

さらに確認せよというのは行き過ぎと言った理由です。
もちろん検算としてやっておけば安心はできます。

この回答への補足

やり方はojamanboさんと通りです。教科書に載っているので間違いではないとは思うのですが、ちなみに確認しなくても論理的には誤りではないと書いてあります。

補足日時：2004/06/08 17:42

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2004/06/08 17:00

この問題は、ｘ＝１以外の時でも、極限値と同じ定数になります。

こういう場合は、代入して検算するのが一番簡単なのです。

別に、代入して確かめるのが「義務」ではないでしょうけど、確かめ方の中で最も便利ということだけです。
ただそれだけのことです。