大学の代数学の課題で困っています。

初めてです。
よろしくお願いします！

大学の代数学の課題が解けなくて困っています。
例題などもないため、比較などができません。
提出の期限が迫っており、内容理解よりも先にレポートの提出をしてしまいたいのでよろしくお願いします。

[１]
Ｇを群とする。任意のx,y∈Ｇに対して(xy)^2=x^2×y^2が成り立つならば、Ｇは可換群であることを示せ。ただし、群の公理のみを使って示すこと。

[２]
Ｇ＝Ｒ－｛－１｝とし、演算a*b=a+b+abを考える。ただし、右辺は実数における普通の和と積である。

（１）
集合Ｇはこの演算で閉じていることを示せ。すなわち、a,b∈Ｇならa*b∈Ｇとなることを示せ。

（２）
（Ｇ,*)は群になることを示せ。

（３）
３*x*2=5を満たすx∈Ｇを求めよ

[３]
正三角形の二面体群Ｄ６の自明でない部分群をすべて求めよ。

長くなりました。
醜い部分もあるかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： NoSleeves 回答日時： 2014/12/17 03:46

同じ問題で苦しんでいる, 仲間もいますね.

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

ところで, D_6 と S_3 の関係は, ご存知ですか.
多くの学生は知っていて, D_6 の自明でない部分群が4つというのは, 数秒で答えられるんですよ.
質問者様の場合, 基本があまり理解できていないようなので, D_6 の部分集合を書き出してみて, それら1つ1つが部分群かどうか, 御自身で調べることをお奨めします（正三角形の3つの頂点に, 1, 2, 3 と名前を付けます）.
単位元を持たない部分集合は, 問題外ですね.
閉じているかどうか調べるには, 置換の積を正しく計算できる必要がありますが, 計算できない学生も少なくありません.
「位数 6 の群だから, 部分群の位数は 6 の約数 1, 2, 3, 6 で, 自明でない部分群の位数は 2 か 3 である」などと暗記しても, 置換の積を計算できないまま試験を受ければ, ひどい結果に終わるでしょう.

何か疑問があれば, 遠慮なく質問してください.

No.3 回答者： NoSleeves 回答日時： 2014/12/16 18:18

この課題は, 学生の理解度を把握することが目的だと思われます.

理解できていないなら, その旨を書いて提出するとよいでしょう.
正解を書いて提出したいなら, 内容理解が伴っている必要があります.

[1]
邪魔な両端を崩すだけ.
簡単な問題なので, 括弧をきちんと書いて, 結合法則をどう使ったかを伝えないと, 試験では点数はもらえないでしょう.

[2]
(1) いろいろな解き方があり, 対偶を証明するのは, その1つです.
(2) これは, ただの計算問題ですから, 大学に合格しているなら解けるはず.
(3) 中学校の1次方程式で解けますが, 少しは群を意識した別解もあります.

[3]
この群は D_3 と記す人が多数派だと思いますが, D_6 と記す人もいます.
自明でない部分群ですから, 位数はいくつでしょうか.
解き方が分からないなら, D_6 の部分集合を書き出してみて, 部分群といえるものを見つければ解決します.

何か質問があれば, 答えられる範囲でお答えします.

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/12/10 00:10

「大学生のくせに自分でやろうという気がまったく見られない」というのが一番「醜い部分」だな.

「ここまでは自力でやったんだけどこの部分で困った」というならまだしも, ねぇ....

No.1 回答者： HAhbisSv 回答日時： 2014/12/09 21:56

そりゃまずいねえ。

レポートのコピペは不正の一種ですからねえ。ここに集う良識のある方々は、そんな不正に加担することはないのではないでしょうかねえ。

ちなみに、レポートだと書かずに答えがもらえたとしても、最近の大学のコピペチェックをなめない方がいいですよ。