底面の一辺がa、上面の一辺がbで高さがhの正四角錘台があります。
この体積VIは
VI=h×(a^2+ab+b^2)/3
と表せます。
ここで、上記の正四角錘台を、高さhで、上面と底面を結ぶ4つの辺の中点で切断した正方形を底面(もしくは上面)とする直方体と等積変形することを考えます。この場合、底面の一辺は(a+b)/2、高さがhの直方体と考えることができると思います。この体積VIIは
VII=h×((a+b)/2)^2
VIとVIIは等積のつもりなのでVI=VIIとなるはずだったですが、どこが間違っておりますでしょうか。
図形がなく分かりにくいのですが、よろしくお願い致します。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
VI=h×(a^2+ab+b^2)/3
VII=h×((a+b)/2)^2
h=2,a=3,b=1でVI、VIIを求めてみよう。
VI=2×(3^2+3・1+1^2)/3=2×(9+3+1)/3=26/3
VII=2×{(1+3)/2}^2=2×(2^2)=8
明らかに、26/3と8は等しくない。
>どこが間違っておりますでしょうか。
「底面の一辺は(a+b)/2、高さがhの直方体と考えることができる」が間違い。
等積にするなら、正四角柱の底面の正方形の辺の長さをcとすると
VI=h×(a^2+ab+b^2)/3
VII=h×c^2
になるから
h×(a^2+ab+b^2)/3=h×c^2
となる筈。
(a^2+ab+b^2)/3=c^2
c=√((a^2+ab+b^2)/3)
なので、cの長さは√((a^2+ab+b^2)/3)でなければならない。
No.2
- 回答日時:
錐体は同じ底面積の直方体の1/3の体積ですから、底面積を1/3にしないと・・
ということは、底面積が1/3より一辺の長さは1/√3 斜辺の1/√3の位置に側面を立てないとならないはずだけど・・
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