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トーラスのガウス写像はトーラス上のx(u,v)を球面のパラメーター表示の-x(u,v)
に対応させます。この事を確かめ、ちょうど同じ(u,v)で表される理由を考えて
ください。

という問題で、テキストの解答には
トーラスのxu(uで偏微分)、xv(vで偏微分)と球面のxu,xvはそれぞれ長さは違い
ますが、平行で、したがって、同じ接平面を定め、同じ単位法ベクトルを定めま
す。球面ではガウス写像は-1倍です。
と書かれていますが、テキストを見ながら自分なりに解答してみました。間違い
があればご指摘、訂正をお願いします。

<単位球面>
X(u,v)=
cosu・cosv
cosu・sinv
sinu

Xu(u,v)=
-sinu・cosv
-sinu・sinv
cosu

Xv(u,v)=
-cosu・sinv
cosu・cosv
0
<トーラス>
xz平面上のz軸と交わらない円が生成する、z軸に関する回転軸をトーラスとい

ます。そのような円は、例えば、0<r<Rに対し、パラメーター表示
R+rcost
rsint
で与えられます。
したがって、トーラスのパラメーター表示は
X(u,v)=
(R+rcosu)cosv
(R+rcosu)sinv
rsinu
となります。―i)
u曲線はz軸を含む平面上の半径rの円です。
v曲線は水平面z=sinuに含まれる円です。
Xu(u,v)=
-rsinu・cosv
-rsinu・sinv
rcosu

Xv(u,v)=
-(R+rcosu)sinv
(R+rcosu)cosv
0
ですから、これらは直交し、1次独立で、i)は曲面のパラメーター表示を与えま
す。

以上より、トーラスのXu,Xvと球面のXu,Xvはそれぞれ長さは違うが、平行で
あることがわかる。
したがって、、同じ接平面を定める。
(定理 接ベクトル全体TX0SはXu(u0,v0),Xv(u0,v0)を基底とする2次元線型
空間(平面)である。)
(定義 接ベクトル全体の作る線型空間TX0SをX0におけるSの接平面と定め
る。)より
また、単位法ベクトルの公式
N(u,v)=Xu(u,v)×Xv(u,v)|/||Xu(u,v)×Xv(u,v)||より
球面の単位法ベクトルは、
N(u,v)=(-cos^2u・cosv+cos^2u・cosv-sinu・cosu・cosv^2-sinu・cosu・sin^2v)
/1・cosu
=(-sinu・cosu)/cosu
=-sinu
トーラスの単位法ベクトルは
N(u,v)={-rcosu(R+rcosu)sinv+rcosu(R+rcosu)sinv-rsinu(R+rcosu)cos^2v-rsinu
(R+rcosu)sin^2v}
={-rsinu(R+rcosu)}
=-sinu
よって同じ単位法ベクトルを定める。
 ガウス写像はX(u,v)をN(u,v)に対応させる写像で、X(u,v)の変化ξとN(u,v)
の変化dN(ξ)が逆方向の時、ξ方向で、曲面が上昇するのだから、上昇分を測
る量として、
第二基本変形を
φ=-ξ・dN(ξ)で定める。
という定義から、トーラスのガウス写像はトーラス上のX(u,v)を球面のパラメ
ータ表示の-X(u,v)に対応させる事がわかる

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A 回答 (2件)

せっかく 接空間を定めるベクトルをもとめたのですから、


トーラス上の点を定める(u,v)と同じ(u,v)に対する球の点を指すベクトルX(u,v)=
(cosu・cosv,cosu・sinv,sinu)がトーラス上の法ベクトルになっているか確かめるといいですよ。
ベクトルX(u,v)=(cosu・cosv,cosu・sinv,sinu)とすでに出ているXu(u,v)の内積が0、
そしてベクトルX(u,v)=(cosu・cosv,cosu・sinv,sinu)とすでに出ているXv(u,v)との内積が0になることは、簡単な計算によって確かめれます。(外積でも法ベクトルは求まりますが、ちょっと公式が複雑ですね)


ポイントは同じ(u,v)に対して、球面とトーラスでは平行な法ベクトルをもつということでしょう。
そして、大切な点は、これを計算ではなくて直観的に図の感覚で理解することではないでしょうか。

球面:(1,0,0)をx-y平面上をz軸まわりにv回転させこれをベクトルaとします。さらに今度はaとz軸からなる平面上を原点を中心としてu回転させる、これをベクトルbとします。球面では原点と球面上の点を結んだベクトルが法ベクトルにもなっていますから、b自体が球面上の法ベクトルになります。

トーラス:(R,0,0)x-y平面上をz軸まわりにv回転させこれをベクトルaとします。さらに今度はaとz軸からなる平面上でaを中心として、aを長さrだけ延長した延長部分(長さr)のベクトルをu回転させる(このaを中心として回転させられたベクトルをbとします)とトーラスのパラメーター表示はa+bであり、長さrの小円の半径をも示すベクトルbが法ベクトルにもなっているだろうと感覚でわかります。

球面でもトーラスでも、二段階の回転方向はまったく同じで、回転させるベクトルの長さと二段階めの回転の起点が違うだけだから、法線ベクトルの方向が同じだろうと、理解できます。

球面のパラメーター表示の-x(u,v)に対応させることで、なぜーがついているかはわからないですね。
法ベクトルは内側で定めてもよいし、外側でもよいと思います。たまたま、そのテキストでは、ここではわからない理由で、球面での法ベクトルを内側にとっていて、トーラス上では外向きにとっていたのではないでしょうか。あるいは、そのテキストではトーラス上の点を定めるのu,vの動き方が、通常とは反対方向に定められていた可能性もあります。
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テキストがわかりづらいので混乱があるのだと思います。


球面とは単位球面のことでしょう。そして (u,v) は全平面にわたっているのではないでしょうか。
これを前提に、問題と解答を整理してみました。トーラスを x(u,v) 、単位球面を p(u,v) とします。

問題:
トーラスのガウス写像はトーラス上の x(u,v) を単位球面のパラメーター表示の -p(u,v) に対応させます。これは、単位球面のガウス写像と同じです。この事を確かめ、ちょうど同じ (u,v) で表される理由を考えてください。

解答:
トーラスの xu 、xv と単位球面の pu, pv はそれぞれ長さは違いますが、同じ向きで、したがって、同じ単位法ベクトルを定めます。単位球面ではガウス写像は p(u,v) を -p(u,v) に対応させます。


この解釈でいくと、あなたの解答はところどころ良く、あちこち正しくないです。特に後半はよろしくありません。まず、接平面を持ち出す必要があるでしょうか。次に、外積の計算が惜しいです。結果はベクトルにならなければなりません。最後に、第二基本形式のくだりがアヤシイです。もっと詳しい説明を求めたいです。


さて、問題の前半は、ただ単純に

トーラス:x(u,v)=( (R+r cos u)cos v, (R+r cos u)sin v, r sin u )
単位球面:p(u,v)=( cos u cos v, cos u sin v, sin u )

として計算してもよいと思います。

まず、定義にしたがってトーラスの単位法ベクトルを計算します。正の数で約分すると計算が楽です。
これが、-p(u,v) になることを確認します。
次に、単位球面のガウス写像を求め、同じであることを確認します。

問題の後半は、トーラスを、v ごとに u を動かしてできる曲線(円周ですが)の集合と見なすとわかると思います。v は z軸まわりの回転を表す量ですよね?
このとき球面の半径を r にしても変わらないので、見たままに答えることができると思います。


ここで1対1の表示

トーラス:x(u,v) は表記同じで、0≦u<2π かつ 0≦v<2π
単位球面:p(u,v) も表記同じで、-π/2<u<π/2 かつ 0≦v<2π 、または (u,v)=(-π/2,0), (π/2, 0)

に立ち返ると、もっと詳しく観察できると思います。このとき球面は、両端が開いた半円弧の集合と両極の和集合とみなせます。

私にわかるのはこれくらいです。
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弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換することによって得られるそうですが、何故そうやって求められるのでしょうか?そもそも、弧長パラメータの概念が今一つ分からないです。

例えば、
x(t)=(asint,acost,bt)
の曲線があるとして、
これの長さ関数は
x'(t)=(acost,-bsint,0)より
int(0,t)||(x'(t))||dt
=int(0,t)sqrt(a^2+b^2)dt
=sqrt(a^2+b^2)t
より、t=x/sqrt(a^2+b^2)
ですから、x(t)の弧長パラメータ表示関数は、
x(s)=(asin(a/sqrt(a^2+b^2)),acos(s/sqrt(a^2+b^2)),
bs/sqrt(a^2+b^2))
となると解釈して宜しいのでしょうか?

分かる方がいましたら、回答宜しくお願いします。

Aベストアンサー

#1のKENZOUです。パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]|dr/dt|dt
つまりsはtの関数となります(←当たり前か)。時間tと共に距離sは(途中で止まることが無ければ)単純に増加していきますので,sはtの単調増加関数ということになり,tをsの関数として書くことが可能ですね。この結果
 r=r(t)=r(s)=r(x(s),y(s),z(s))
と表すことができます。つまり曲線rをパラメータsを使って表すことになりますので,このsを孤長パラメータと呼んでいます。

>tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか?
仰る通りと思います。

#1のKENZOUです。パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]...続きを読む


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