No.2
- 回答日時:
|z-2i|=|z+4| ...(1)
|z-2i|はzとz1=2iの距離を表しています。
また|z+4|はzとz2=-4の距離を表しています。
この共通なzは2点z1=2iとz2=-4と等距離にある点です。すなわちzは線分z1-z2の垂直2等分線上の点である。
すなわち、(1)は
2点z1=2iとz2=-4を結ぶ線分z1-z2の垂直2等分線の方程式そのものだといえます。
あえて、z=x+iy (x,yは実数)とおいたときのxとyの関係として求めたいのであれば
|x+i(y-2)|=|x+4+iy|
|x+i(y-2)|^2=|x+4+iy|^2
x^2+(y-2)^2=(x+4)^2+y^2
両辺からx^2+y^2を引けば
4-4y=8x+16
2x+y+3=0 or y=-2x-3 ...(2) ←直交座標での垂直2等分線の式
となります。x=tとおけば y=-2t-3
z=x+iy=t- i (2t+3) (tは媒介変数)
すなわち、(1)を満たすzは
z=t- i(2t+3) (tは媒介変数)...(3)
と表すこともできます。
この(3)が垂直2等分線の複素表現の方程式です。
No.1
- 回答日時:
ガウス平面で考えれば
|z-2i|=|z+4| (1)
は点2i, -4からの距離が等しい点Zの集合なので中学校で習ったように2点を結ぶ線分の垂直2等分線です。
計算として示したければ
z=x+iy
と表示して(1)に代入し
|x+i(y-2)|=|x+4+iy|
両辺を2乗して整理すると
y=-2x-3
これは点2i, -4の中点-2+iを通り、傾きが-2であって、点2i, -4を結ぶ直線Lの傾き1/2との積が-1
になっていることからLに垂直であることがわかります。
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