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複素数の極形式のz=r(cosθ+isinθ)、r=lzl、θ=argz
にてcosθとisinθの頭にマイナスがついても(例:z=r(cosθーisinθ)やz=r(ーcosθ+isinθ))それは複素数の極形式といえるんですか?

A 回答 (3件)

>z=r(cosθーisinθ)やz=r(ーcosθ+isinθ)



はもちろん、rとθの示す複素数を表していません。

ちなみに極形式とは、rとθで複素数を表すこと。
rとθから実数と虚数による表現に変換する式
は極形式ではありません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます(^^♪
そうなんですね~

お礼日時:2014/12/28 19:13

arg(z) に負符号 "-" をつけちゃいけない…という「構文規則」は無いのでは?



z = e^(iθ) の共役を e^(-iθ) と書いちゃいけない…とすると、いちいち 1/e^(iθ) などと書かねばならぬわけでしすか。

そんな強制をせねばならぬ根拠はなさそうですけど…。
  
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この回答へのお礼

ありがとうございます(^^♪
質問後、問題を進めた結果、高校数学での極形式は質問の頭にマイナスをつけてはいけないというのが自己解決的に分かりました(問題にて頭のマイナスが付いたのがあり、そのマイナスを消すだけのが解答としてあったので。)><

お礼日時:2014/12/27 13:22

z=r(cosθーisinθ)=r{cos(-θ)+isin(-θ)}



z=r(ーcosθ+isinθ))=r{cos(180°-θ)+isin(180°-θ)}

ガリガリ変形すれば極形式になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます(^^♪
やっぱり極形式はマイナスがついてはいけないんですね><

お礼日時:2014/12/26 20:43

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Q複素数の計算と偏角がわかりません。

見ていただきありがとうございます。

この質問がわかりません。

-1/√3+iの絶対値の2乗は○/○、偏角は○/○π(ただし、偏角は0以上、2π未満とする。)

/は分数の線とし、√の後の数字は√の中に入ってるとし、iは虚数とする。

この問題がわかりません。
答えは持ってます。

もしとき方がわかる方がいましたら、回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

1) 複素数 z=x+iy の絶対値は次の式で求められます。
  |z|=√(x^2+y^2)

  |-1/√3+i|^2
 =1/3+1
 =4/3

(∴ |z|=2/√3 )

2) 偏角θ (0≦θ<2π)は次式で求めます。
  tanθ=y/x
  ただし、この式では 周期π で解が出てきますので、複素数zを極座標表示して 元の複素数になっているか確認します。
  (複素平面上の第2象限にある解を求めるという方法でもOKです。)

  tanθ=1/(-1/√3)=-√3
 ∴θ=2π/3, 5π/3

 θ=2π/3 のとき
   z=2/√3 { cos(2π/3) + i sin(2π/3) }
    =-1/√3 + i
  となり、元の複素数に一致する。

 θ=5π/3 のとき
   z=2/√3 { cos(5π/3) + i sin(5π/3) }
    =+1/√3 - i
  となり、元の複素数の符号が判定していて不一致。

 以上のことから、偏角 θ=2π/3 と求められます。

1) 複素数 z=x+iy の絶対値は次の式で求められます。
  |z|=√(x^2+y^2)

  |-1/√3+i|^2
 =1/3+1
 =4/3

(∴ |z|=2/√3 )

2) 偏角θ (0≦θ<2π)は次式で求めます。
  tanθ=y/x
  ただし、この式では 周期π で解が出てきますので、複素数zを極座標表示して 元の複素数になっているか確認します。
  (複素平面上の第2象限にある解を求めるという方法でもOKです。)

  tanθ=1/(-1/√3)=-√3
 ∴θ=2π/3, 5π/3

 θ=2π/3 のとき
   z=2/...続きを読む

Q極座標での負の概念が分かりません

「原点Oを中心とする半径1の円周Cがxy平面上にある。
この平面上の点P(P≠O)からx軸に下ろして垂線の足をQ,
直線OPとCとの交点のうち、近い方の点をRとする。
(1)点Pを極座標(r,θ)として、線分PRの長さをr,θを用いて表せ。」
という問題の答えにPR=|r-1|とあるのですが、
なぜ||r|-1|で無いのか分かりません。
極座標なのでr<0のときはCとの交点のうちの遠い方の点との長さを
指してしまうんじゃないんでしょうか?
r<0のときは(-r,θ)=(r,θ+π)で考えられると言われましたが、いまいち納得出来ません。
r<0は考えなくていいんですか?
教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

捕捉に対する回答
 まずr<0の問題があるということですが,これはおそらく「r<0とすると都合が悪い」ことの例を示しているのではないでしょうか.

>平面上においてはr≧0と定義してしまって構わないのでしょうか?
 はい,そう定義するのが主流です.ちなみに三次元には球座標,さらにn次元にはn次元球座標が存在しますが,そのときもr≧0とすることが多いです.

>もしそうでしたらその際に正と定義することを言う必要はありますか?
 いったほうが丁寧ですが,受験などにおいては常識となっているので言わなくても大丈夫な気がします.

Q偏角を表す「arg」の読み方

 どなたか教えて下さい!!

偏角を表す記号「arg」はなんて読めばいいのでしょうか?
 
 至急お願い致します。m(__)m

Aベストアンサー

とりあえずオンライン辞書として使ってみたらどうでしょう?

参考URL:http://www.alc.co.jp/sa_menu.html

Q二酸化硫黄と硫化水素の酸化還元反応式

タイトルのとおりなのですが、二酸化硫黄と硫化水素の酸化還元反応式が
どういうふうになるのかおしえてほしいのです。
硫化水素 H2S→2H+ + S + 2e-
二酸化硫黄 SO2 + 4H+ + 4e- → S + 2H2O
ということまではたぶんあっているとおもうのですが・・・
このあとどうやっていけば酸化還元反応式ができあがるのかが。。。
教えて下さい

Aベストアンサー

そこまでわかっているのなら、後は
e-が消えるように2つの式を足し合わせるだけです。
最初の式を2倍して、2番目の式と足せば、
2H2S + SO2 + 4H+ + 4e- → 4H+ + 2S + 4e- + S + 2H2O
両辺から同じものを消して
2H2S + SO2 → 3S + 2H2O
となります。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q複素数の絶対値の性質について

なぜ、複素数zと共役な複素数zをかけた場合、絶対値zの2乗になるのでしょうか?
また、複素数に絶対値がつくというのは、どういうことを意味しているのか教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんばんは。

>>>なぜ、複素数zと共役な複素数zをかけた場合、絶対値zの2乗になるのでしょうか?

x+iy の共役複素数は、x-iy である、と定義し、
x+iy の絶対値は、√(x^2 + y^2) である、と定義しているからです。

共役複素数同士をかけると、
(x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2
となりますから、根号をかぶせれば絶対値の定義と同じになりますよね。



>>>また、複素数に絶対値がつくというのは、どういうことを意味しているのか教えてください。

絶対値という概念は、x+iy をX-Y座標系の点(x,y)で表したときの、
その点の原点Oからの距離を表すということで重要です。

原点(0,0)を中心とする半径1の円を描いたとします。
すると、絶対値が1の複素数は、円周上にあります。(当然ながら、三平方の定理)
これが重要です。


たとえば、1の3乗根は、3つあります。
・1
・(-1+√3i)/2  (ω という記号で表すことがある)
・(-1-√3i)/2  (ω^2 という記号で表すことがある)
どれも、同じものを3回掛けると1になります。

これらをXY座標系にプロットしてみますと、
・(1, 0)
・(-1/2, √3i/2)
・(-1/2, -√3i/2)
の3点になります。
すると、これら3点は、座標(1,0)のところを始点にして、反時計回りに、
・0周 (0度)
・3分の1周  (120度)
・3分の2周  (240度)
のところにあります。

これを知っていると、他の実数の3乗根を求めるのは簡単です。

27の3乗根は、
・3×1
・3×(-1+√3i)/2  (ω という記号で表すことがある)
・3×(-1-√3i)/2  (ω^2 という記号で表すことがある)
の3つです。

何となく、わかりませんか?

絶対値が1より大きいか小さいか、はたまた、ぴったり1か、ということは、非常に重要です。


また、1の4乗根は4つあり、
それは、1、i、-1、-i です。
これらは(説明は省きますが)、0度、90度、180度、270度に対応します。

言い換えれば、「1の?乗根」は、すべて図解で求まります。


では、16の4つの4乗根は、何でしょうか?
・・・とクイズを出したところで、失礼します。

ご参考になりましたら。

こんばんは。

>>>なぜ、複素数zと共役な複素数zをかけた場合、絶対値zの2乗になるのでしょうか?

x+iy の共役複素数は、x-iy である、と定義し、
x+iy の絶対値は、√(x^2 + y^2) である、と定義しているからです。

共役複素数同士をかけると、
(x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2
となりますから、根号をかぶせれば絶対値の定義と同じになりますよね。



>>>また、複素数に絶対値がつくというのは、どういうことを意味しているのか教えてく...続きを読む

Q有理化せずに複素数の偏角を求める方法について

有理化せずに複素数の偏角を求める方法について

ある有理化されていない複素数 C/(A+Bi) があっとして (A,B,Cは定数)
これを有理化せずに偏角を求める方法はありますでしょうか?

普通は有理化して (D+Ei)/F ここから θ=atan(E/D) と求まると思います。
絶対値の計算は有理化しないでも √(C^2)/√(A^2+B^2) と求められるようですが
偏角でも有理化せずに計算できるテクニックはないのでしょうか?

ご存じの方いらっしゃいましたら、是非ご教授お願いします。

Aベストアンサー

>有理化せずに複素数の偏角を求める方法
>ある有理化されていない複素数 C/(A+Bi) があっとして (A,B,Cは定数)
>これを有理化せずに偏角を求める方法はありますでしょうか?

ありますよ。
θ=-atan(B/A)
となりますね。
分母の位相角の符号が変わるだけです。

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qlogとln

logとln
logとlnの違いは何ですか??
底が10かeかということでいいのでしょうか?
大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??
解説お願いします!!

Aベストアンサー

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場合があります。

私の大学時代と仕事の経験から言いますと・・・

【eを用いるケース】
・数学全般(log と書きます)
・電子回路の信号遅延の計算(ln と書く人が多いです)
・放射能、および、放射性物質の減衰(log とも ln とも書きます。ただし、eではなく2を使うこともあります。)

【10を用いるケース】(log または log10 と書きます)
・一般に、実験データや工業のデータを片対数や両対数の方眼紙でまとめるとき(挙げると切りがないほど例が多い)
・pH(水溶液の水素イオン指数・・・酸性・中性・アルカリ性)
・デシベル(回路のゲイン、音圧レベル、画面のちらつきなど)

ご参考になれば。

こんにちは。

>>>logとlnの違いは何ですか??

「自然対数」は、natural logarithm の訳語です。
「ln」というのは、「logarithm 。ただし、natural の。」ということで、つまり「自然対数」という意味です。
一方、log というのは、底がeなのか10なのかがはっきりしません。


>>>大学の数学のテストでlogが出てきた場合は底が10と解釈してよいのでしょうか??

数学であれば、底がeの対数(自然対数)です。底が10の対数(常用対数)ではありません。
一方、log は、数学以外であれば不明確な場...続きを読む


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