数学の極限と不等式の問題の解答を教えてください。

高校数学の問題の解法を教えて下さい。画像添付しました。わかる方どうぞよろしくお願いします。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/15 18:08

(1)

fn(x)=(1/n)Σ(i=1,n)cos[(i-1)x/n]

f(x)=lim(n→∞)fn(x)=lim(n→∞)(1/n)Σ(i=1,n)cos[(i-1)x/n] (1)

このような問題は積分と関係づけて解けと言われているようなもの。

(0~x)におけるcosxの積分は(0~x)をnこの短冊に切って足し合わせ、n→∞としたもの、つまり

∫(0→x)cosx=lim(n→∞){(x/n)Σ(i=1,n)cos[(i-1)x/n]} (2)

(1),(2)を比較すると

∫(0→x)cosx=lim(n→∞){(x/n)Σ(i=1,n)cos[(i-1)x/n]}=xf(x)

ゆえに

f(x)=(1/x)∫(0→x)cosx=sinx/x


(2)

f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2=[cosx/x^2](x-tanx)

0<x<π/2においてcosx/x^2>0

また参考urlにあるように0<x<π/2においてtanx>x

よって0<x<π/2においてf'(x)<0

すなわちf(x)は単調減少

f(0)=lim(x→0)[sinx/x}=1 (ロピタルの定理を使えば簡単)

f(π/2)=2/π

以上より0<x<π/2において

0<f(x)<2/π

参考URL：http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

この回答へのお礼

詳しく教えてくださりありがとうございました。
＊最後の行は２/π＜f(x)＜１　ですね？

お礼日時：2015/01/17 11:29

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2015/01/04 07:57

ANo.1です・・!

失礼!!
(2)を訂正

(2)
y = f(x)－2/π
・・・とでもして大小関係を見てみる
(このままだと比較し難いのでy = xf(x)－2x/π　・・にしてみるとか!?)

この回答へのお礼

訂正までしてくださりありがとうございます。

お礼日時：2015/01/04 12:17

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2015/01/04 03:47

(1)

f(x)
= lim(n→∞)fn(x)
= lim(n→∞)Σ[k=0～n-1]cos(x・(k/n))・(1/n)
・・・はどう表現できるか

(2)
y = f(x)－2x/π
・・・とでもして大小関係を見てみる

この回答へのお礼

参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2015/01/04 12:19