No.88660の質問が間違っていました。
もう一度訂正したものを書きます。

問題:
a、b、c、dは自然数で、aとbは互いに素とする。
a/b=c/dならば、
   c=ka、d=kbとなるような自然数kが存在することを示せ。
これならどうでしょうか。

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A 回答 (8件)

a/bが既約分数であるという条件が付きました。

これなら自明でしょう。
でも念のためにじっくりやってみましょうね。

a/bが既約分数とはつまり
 (1) a, bを共に割り切る1より大きい自然数はない。
(m/n)を既約の正の有理数(m,n>0)として
(m/n)=c/a
このようなm,nは必ず存在します。(c/aを約分したものに過ぎません。)念のために、既約であるということは
 (2) mとnの素因数分解は共通の素数を含んでいない。
という意味ですね。
するとa/b=c/dの関係から
(m/n)=d/b
が成り立つ。ゆえに
a(m/n) = c, b(m/n)=d
です。ここでc, dが自然数であるためにはamはnで割り切れ、bmもnで割り切れなくてはならない。
ゆえに、もしn>1ならば、(2)によって、
 (3) amがnで割り切れるならば、aはnで割り切れる。
 (4) bmがnで割り切れるならば、bはnで割り切れる。
が言える。すなわちa,bを共に割り切るn>1が存在することになり、条件(1)に矛盾してしまう。
だからn=1でなくてはならない。そこで
k=m/n = m
とおけば、これが求める自然数というわけです。
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回答かいちゃった↓。

閉めてから再質問してくださいよお。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru_reply.php3?q=8 …
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この回答へのお礼

返事が遅くなってすみません。
自分のミスでこのような迷惑がかかると思いませんでした。
大変ご迷惑をおかけしました。
貴重な時間を割いていただいてありがとうございます。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時:2001/06/12 15:46

分母を払うと


ad=bcで、かつaとbは互いに素、
しかも積ab、bcは自然数だから、この等式が成り立つには、
dはbの倍数でなくてはならない。
よって適当な自然数kを用いてd=kbと表せる。
これを再び等式に代入すると、
kab=bc
両辺をbで割れば、c=kaが得られる。
こんなもんでどうでしょう?

蛇足です。
大変請謁なんですけど、問題を間違えたわけですから、
貴方の満足のいく解答は出てこなくて当然ですよね。
88660の質問は締め切るべきだと思いますがいかがでしょう?
皆さん一生懸命考えてくださったわけですから。ね。
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この回答へのお礼

返事が遅くなってすみません。
自分のミスでこのような迷惑がかかると思いませんでした。
大変ご迷惑をおかけしました。
貴重な時間を割いていただいてありがとうございます。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時:2001/06/12 15:47

「a、b、c、dは自然数で、a<c,b<dとする。

a/b=c/dならば、」
a/b=c/dからa:b=c:d 比の関係あります。
上記の事からcはaの倍数です。同じくdはbの倍数です。
この倍数は同じ値になります。a、b、c、dは自然数なのでこの倍数をkとした時にkは自然数になります。ある自然数Xある自然数=自然数となるからです。
kxa=c、kxb=dとなります。
------------------
a/b=c/dからaxd=bxcとし両辺にbをかける
a=bxc/d k代入します。
a=c/kから
k=c/a→k=d/b

この回答への補足

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時:2001/06/11 22:14
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この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時:2001/06/12 15:56

先人の方々の通りです。


このままでは反例が存在し、この命題は偽(成り立つとは限らない)です。

c=ka、d=kbとなるような「実数k」が存在することを示せ。
ならばこの命題は真(正しい)で、No.3のように証明できます。

これが分からないと他のものが解けないという文章を見ていて、
単なる予想をしたのですが、

a/b=c/dならば、
(a+c)/(b+d)=(a-c)/(b-d)

のようなものが証明したいのですか?
それならば、a/b=c/d=k(kは実数)とおき、
a=bk,c=dkとして、左辺=右辺を示します。
a/b=c/dの形を比例式と言いますが、
比例式が与えられたときの証明のほとんどは、
=kと置いて分子をkと分母を使って表すのが定石です。

一応ご参考までに。
見当違いだったらすいません。

この回答への補足

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時:2001/06/11 22:17
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この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時:2001/06/12 15:58

a/b = c/d


c = a(d/b) (1)
d = b(c/a) (2)

(a/b)(d/a) = (c/d)(d/a)
d/b = c/a (3)

(1)(2)(3)より
k = d/b = c/a

この回答への補足

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時:2001/06/11 22:19
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この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時:2001/06/12 16:01

a、b、c、dがそれぞれ自然数で、a<c、b<dなので、


a/b = c/d ということは「c/dを約分した結果がa/bだ」と言えます。
ということは、ある数kを用いて
c/d = (ka/kb)
と表記することができます。
約分を示す等式ですから、分子どうしと分母どうしは等式で成り立ちます。
よって、
 c=ka、d=kbとなる数kが存在します。

ただ、kが自然数かどうかは証明できません。
例えばa/bが6/12、c/dが9/18という状態ならば、両方とも約分すれば1/2になる
のですが、この場合のkは2/3になってしまうからです。

この回答への補足

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時:2001/06/11 22:20
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この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時:2001/06/12 16:02

反例をあげます。


a=6, b=9, c=10, d=15 の時、
a<c かつ b<d で a/b = c/d ですが、
c=ka, d=kb となるような自然数 k は存在しません。

この回答への補足

問題が違っていました。
「aとbは互いに素の関係がある」
ことを付け加えて考えてください。

補足日時:2001/06/11 22:21
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この回答へのお礼

自分の質問が間違っていたのに訂正版を新しく作ってしまい、皆さんに大変ご迷惑をおかけしました。
今後は十分注意いたします。
すみませんでした。

お礼日時:2001/06/12 16:04

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Aベストアンサー

あんまり詳しくないので間違っているかもしれませんが…。

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Aベストアンサー

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2通りの積で表せることから
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 xは素数の2乗ではない (3)
以上より、候補は8か15になります。
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 15=15x1=5x3
別の自然数の和と差の積であることから、
 x=奇数x奇数 または 偶数x偶数
になり、候補は15のみになります。
 実際に別の自然数の和と差の積で表せるか確認すると
(a,c,b,d)=(8,7,4,1)
となることがわかり、条件を満たす最小値は15であることが分かります。

Q可算無限集合と非可算無限集合の違いが分かりません。

例えば、こういう問題のときそれぞれ可算無限集合と非可算無限集合のうちどっちですか?
(1)0≦x≦1を満たす実数x
(2)任意の自然数N
(3)任意の実数R
回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

本来の質問の趣意からは的外れなのを承知の上で,あえて,あさっての方向からツッコミを入れます.

たとえば,(1)について.
「0≦x≦1を満たす実数x」は,可算無限集合でも非可算無限集合でもありません.
そもそも,それは「集合」ですらありません.
「0≦x≦1を満たす実数x」とは何かと問われれば,たとえば 1/2 は答えのひとつです.でも,1/2 は集合ではありません.同様に, 1/3 も集合ではありませんし, π/4 も集合ではありません.

(専門家の方々へ:「公理的集合論では自然数も整数も有理数も実数も集合をもって構成するのだから,個々の実数だって集合だ」というツッコミはなしでお願いします)

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ならば
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は成り立ちますか。
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f(a+bi)=c+di
ならば
f(a-bi)=c-di
は成り立ちますか。
前回の質問が締め切られてしまいました。
前回回答いただきましたTacosanさま、かなり考えましたがヒントに最後まで答えることが出来ず、申し訳ありませんでした。一定の条件がわかりませんでした。こちらにも是非回答お願いいたします。詳しい回答本当にありがとうございました。

Aベストアンサー

反例:
xの一次式
f(x) = x ・(1-√2) + √2

f(1+√2) = (1+√2)・(1-√2) + √2
=1-2 + √2
=-1+ √2

f(1-√2) = (1-√2)・(1-√2) + √2
= 1 -2√2 + 2 + √2
= 3 - √2 ≠ - 1 - √2

---
f(x) = g(a,|x-a|) + (x - a)
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 f(a+√b) = g(a,|√b|) + √b = g(a,√b) + √b
 f(a-√b) = g(a,|-√b|) + (-√b) = g(a,√b) - √b
c = g(a,√b) とすれば
 f(a+√b) = c + √b
 f(a-√b) = c - √b
です。
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Q1 と 2 の間の ほとんどすべての q に対し、"非可算無限" の

1 と 2 の間の ほとんどすべての q に対し、"非可算無限" の 『1 の q-進表現』が存在する

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を読んでいて、次のようなことが書かれていました。

0.999...=1 に相当する結果を他の基数にも適用することができる。例えば 2 を基数とする(二進法)と 0.111...=1 であり、3 を基数とする(三進法)と 0.222...=1 である。
1 の別表現は、非整数を基数としても現れる。例えば、黄金比を基数とすると、2つの標準的表示は 1.000... と 0.101010... であるが、他にも0.11, 0.1011, 0.101011 のように隣接する "1" を含む無数の表現がある。一般的に、1 と 2 の間の ほとんどすべての q に対し、"非可算無限" の 『1 の q-進表現』が存在する。

最後の部分がどうしてなのかがわかりません。詳しく説明されているサイトなどがあれば教えてください。

Aベストアンサー

黄金比は(1+√5)/2のこと。これを基数とすれば
1
=0.101010...
=0.11
=0.1011
=0.101011
と表せることは分かるよね。
言いかえると,それぞれq=(1+√5)/2のときΣ[i=1から∞]e_i*q^(-i)(ただしe_i∈{0,1})と展開したときのe_iが
1,0,1,0,1,0 これ以降は1,0の繰り返し
1,1 これ以降は0
1,0,1,1 これ以降は0
1,0,1,0,1,1 これ以降は0
ということ。この表現方法が無数にあることも簡単です。最後の1を0,1,1に置き換えるだけで別の表現が得られるからです。
「一般的に、1 と 2 の間の ほとんどすべての q に対し、"非可算無限" の 『1 の q-進表現』が存在する。」これは例えば
http://smf4.emath.fr/Publications/Bulletin/118/pdf/smf_bull_118_377-390.pdf
を見てね。

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Y=(D×C×A)+(C×B×A)+(D×B×A)+(D×C×B)この式はこれ以上簡略化できますか?

Aベストアンサー

どういう形を簡略化として求めているかによりますが。
ABCD(1/A+1/B+1/C+1/D)
の方が簡略化しているような複雑化しているような…
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単に興味本位からの疑問なのですが・・・

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Aベストアンサー

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お世話になります。
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『A∪(BーC)=( A∪B)ー(A∪C)ならば A=φ (φは空集合)』
が示せずに困ってます。

やり方を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。見ていらっしゃいますか?
対偶は下に書いていらっしゃる式で正解です。

さて、ではその対偶を書き下してみると、
Aに要素が存在すれば、集合A∪(BーC)と( A∪B)ー(A∪C)が同じでない。という意味になります。

以下、証明の流れです。
Aに要素aが含まれるとすると、aはAに含まれるのでA∪(BーC)にも含まれる。
ところが、aは(A∪B)ー(A∪C)には含まれない。ということで、
集合A∪(BーC)と( A∪B)ー(A∪C)は同じでない。

これを記号を使ってまとめてみてください。


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