センター物理 動滑車

図1のように、なめらかで水平な台の上に質量mの物体Aと質量2mの物体Bを置き、それらを軽くて伸び縮みしない糸でつなぎ、糸を台に固定した定滑車に通して鉛直に垂らした、この糸に動滑車をかけ、それに質量mの物体Cを取り付けた、三つの物体を同時に静かに離した所、Cは鉛直下向きに動き、Aは図1の水平右向きに、Bは水平左向きに動いた、このとき、Cの移動距離はAとBの移動距離の合計の1/2倍である、ただし、運動はAとBが定滑車に衝突しない範囲で考えるものとする
また、滑車はすべて質量を無視でき、なめらかに回転する、Aと定滑車の間の糸とBと定滑車の間の糸は水平であり、定滑車と動滑車の間の糸は鉛直である、又、重力加速度の大きさをgとする、Aの加速度の大きさをa,Bの加速度の大きさをb,Cの加速度の大きさをc,糸の張力の大きさをTとする

この問題文でCの移動距離はAとBの移動距離の合計の1/2倍であるとありますが、これはこの問題に限らず常識的な事なのでしょうか？そうだとしたら何故そうなるのか是非証明の方を宜しくお願いします

No.23 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/07 12:48

>リンクのyoutubeは飛べないんです

うん、そういうのも早く言おうね(^^;
回答側は既出の内容は全て見ているものとして話を進ますから。

http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/4-1-0-0/4-1- …
下の方にgifアニメーションがある。
左右逆だが、これはNo.10図パターン2のBが動かない場合と同じ事。

ついでに
http://www.chugakujuken.com/rika/pdf/ri-6A-17-ka …

この回答への補足

そこも見たんですが結局http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/4-1-0-0/4-1- …は動滑車が省かれてますが、動滑車はどれだけ降りて、片側の糸がどれだけ降りたのかが分からないです

補足日時：2015/01/07 13:08

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/07 13:08

No.22 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/07 11:37

>片側が多いとずれるみたいにならないんですか？まっすぐ動滑車は降りるんですか？

・・・それで以前回答の動画リンクも見れていないってことが分かりました（－－；
「動滑車」が何か分かっていないコメントですよ、それ。
滑車ってのは回転するもので、小学校で学ぶ内容です。


もうひといきかな？

この回答への補足

すいません、リンクのyoutubeは飛べないんです、遊んじゃうので規制が掛かってるんです

補足日時：2015/01/07 11:41

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/07 11:41

No.21 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/07 10:30

あ、書き間違った。

先ほどの回答中の文章を訂正します。

さらに、１人が3歩でもう１人が１歩でも、「ペアで２歩分」ですし、１人が6歩でもう１人が反対方向に2歩（つまりマイナス2歩）でも、「ペアで２歩分」です

この回答への補足

糸の移動距離が違う場合ですよね、どちらかが極端に多いとまっすぐ動滑車は降りないんじゃないですか？

補足日時：2015/01/07 11:42

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/07 11:42

No.20 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/07 10:26

あぁ、ようやく糸口が見えた。

やはりきちんと文章で書かないと思考過程が伝わりませんね。

２つの数a,bがある。
今、（a+b）をcとおく、すなわち
c=a+b
であるから、
c＋L=a+b＋L
の等式が成り立つ。

・・・これがあなたの頭の中で、そこから
c＋L=a＋L＋b＋L
では等式が成り立たないので、おかしいと感じているのでは？
ではどこで誤っているのか。










最初です。（a+b）をcとおくところが考え違い。
これまでのやりとりで、移動量xaとxbが同じ値だったらxa=xb=xcの関係になるって所までは認識できていますよね？
・・・とすると、c=a+bがそもそも成り立ちませんよね？
なぜでしょう？

No.16>動滑車の回りの2本の糸を一本の糸と考えることにすると
そこがつまづき初めでしょうね。二人三脚のペアとして２歩分前に進むには、2人はそれぞれ２歩分進まないといけないのです。つまり2人の移動距離を合わせると、2歩＋2歩で4歩になることに気づいていない。
これは二人三脚に限らず、整列行進でも同じ事。ペアが2歩分進むなら2人合計で４歩。３人組のトリオが２歩分進むには合計６歩、４人組のカルテットなら合計８歩進むことになる。
さらに、１人が3歩でもう１人が１歩でも、「ペアで２歩分」ですし、１人が6歩でもう１人が反対方向に4歩（つまりマイナス4歩）でも、「ペアで２歩分」です。

イメージできましたか？
c=（a+b）の関係ではなく、
ほんとは
c=（a+b）/2
の関係にあるから、
c＋L=(a+b)/2＋L＝(a+b+2L)/2
とするのが正解なんです。

さらにi+j＝Lとすると上式は
c＋L=(a+b)/2＋i+j＝(a+2i+b+2j)/2
と書き表せます。
i+j＝Lを満たす数である限りはiとjの値に縛りは無いわけで、aの移動量増加分iとbの移動量増加分jの値は任意に配分可能なのです。（ちなみにi+jがLでないときは、糸が切れるかたわむかしていますね。）

とまぁ私の力量では中学生レベルまでしか展開できませんでしたが、以上で証明を終わります。


>xaとxbが違う値だったら
ここまでが理解できていればわざわざ言う必要もないと思いますが、No.10図のパターン2,3の意味をもう一度見てみましょう。パターン２はBが動いていないし、パターン３はAとBの移動距離が違う。どちらも『xaとxbが違う値』のケースですね。
背景のマス目を目印に、A,B,Cの移動量a,b,cをカウントしてごらんなさい。さらにそれぞれ糸の部分がどう動いたかも色塗りセルの移動を確認すれば一目瞭然のはずです。糸（紙）は不生不滅。伸びも縮みもし無い事に留意。

この回答への補足

>移動量xaとxbが同じ値だったらxa=xb=xcの関係になるって所までは認識できていま
>よね？
はい

>c=（a+b）の関係ではなく、ほんとはc=（a+b）/2
ここなんですねC=a+bに見えるんですね

>１人が3歩でもう１人が１歩でも、「ペアで２歩分」
これが片側の糸の移動量が多いときだと思うんですが、片側が多いとずれるみたいにならないんですか？まっすぐ動滑車は降りるんですか？

図も見たんですがパターン1が動滑車がL降りた場合だとしてパターン2やパターン3は両側の糸の移動量が等しくない場合だと思うんですが、動滑車の移動した距離も異なっているようなのですが、動滑車の移動距離はあわせないといけないんじゃないですか？

補足日時：2015/01/07 11:13

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/07 11:13

No.19 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/01/07 08:58

No.17です。

＞2番目の図なんですが上からLぶら下っていることになっているのは何故なんですか？
　縞模様の紐は最初の見えている紐です。
　No.17で説明したように簡単にシンプルに考えます。滑車ですら無視してよい。
　一つの負荷を２本の紐で支えれば２本に分散される。
　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　最右図のように３本使えば1/3になる。

この回答への補足

2番目の図は分かりやすいんですが、3,4番目の図って片側だけ2L伸びたって証明はできますか、図だけ見たらそう見えますが、厳密に示して欲しいです

補足日時：2015/01/07 10:00

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/07 10:00

No.18 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/01/07 00:08

＞Cの移動距離はAとBの移動距離の合計の1/2倍であるとありますが、

＞これはこの問題に限らず常識的な事なのでしょうか？

AとBの移動距離の和の分だけ左の定滑車右端から右の定滑車の左端までのロープの長さが
増えます。

左の定滑車右端から右の定滑車の左端までのロープの長さのLとすると

定滑車の中心から動滑車の中心までの距離はHは、動滑車の半径をR とすると

2H + πR/2 = L

だから H = L/2 - πR/4

AとBの移動距離の和 = d とすると　L は L+d に増えるので　H は d/2 増えます。

この回答への補足

>左の定滑車右端から右の定滑車の左端までのロープの長さのLとすると
これってAと定滑車までの糸の長さとBと定滑車までの糸の長さの和の事ですか？

>2H + πR/2 = L
この式のπR/2が何を表しているのか分かりません

>L は L+d に増えるので　H は d/2 増えます。
Hがd/2増える理由が分かりません

補足日時：2015/01/07 04:48

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/07 04:48

No.17 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2015/01/06 19:59

そんな難しい理由は一切考えなくて良い。

　単純にCにつながっている二本の糸に注目すると、二本で協力して支えているのですからどちらの糸がより動こうと・・・・
　

この回答への補足

2番目の図なんですが上からLぶら下っていることになっているのは何故なんですか？動滑車はL降りたのは分かるんですが、上の赤い所がLになっているのが分かりません

補足日時：2015/01/06 20:13

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 20:13

No.16 回答者： CC_T 回答日時： 2015/01/06 18:17

> やってみたいですが、家に定滑車や動滑車は無いしどうすればいいのか分からないんです

携帯か何かでご覧で、回答の一部が見えていない状態なのでしょうか？
定滑車は方向を変えるだけだから無視していい旨を書きました。紙を切って使う例も図解入りで描いたわけですが、それも試していない？　動画はご覧になりましたでしょうか？

他にも「糸とペットボトルの蓋」ってのも書いたように、そもそも糸や滑車なんて使う必要もなく、同じ働きをするもので代用すればいいんです。設問通り垂直に設置して重力を利用せずとも、机の上に横たえて動かしたってあなたが質問された動滑車におけるc=（a+b）/2の関係は確認できます。

例えば紙を細長く切ったものを糸の代わりにしてオモリにテープで留め、滑車は乾電池やペン軸などで代用すればいい。c=（a+b）/2を確認するのに必要なのは糸（紙）の動きだけで、滑車を回さなくとも滑れば同じ事なんですから。定滑車も欲しければ乾電池を２個テープで机に留めればいい。リモコンの電池でも懐中電灯の電池でもコンロの電池でも、電池くらい家の中に３つや４つあるはずです。

概念化を更に詰めればNo.10の紙モデルになるんですが、どうしても滑車じゃなきゃ嫌だと言うなら金物屋かホームセンターに行って網戸用の戸車を買ってくればいいでしょう。数百円台でも立派な滑車です。あとはその辺でたこ糸でも買ってくればいいでしょう。

そういった応用を考えられない限り、数学や物理を勉強しても価値が無いのでは？
現実に公式を当てはめて考える事もできないのでは、恐ろしく活用幅が狭い知識になり下がりますよ。

次の捕捉も１～２行の有様なら、回答を継続する気力が失せるはず。ともかく、ここまでに得た材料を咀嚼してから、次の補足を願いたいです。せめてどこに違和感を感じているのか、挨拶抜き300字以上の文章での説明を試みてくださいな。

この回答への補足

滑車じゃないと駄目と言うわけではないんですが、そのままの方が分かりやすいかなと思ったんです、自分が思うに動滑車の回りの2本の糸を一本の糸と考えることにすると動滑車がL動くと1本の糸もLだけ下がるのではないかと思うんですが、厳密に数学的に証明をして納得したいです、もしLだけ両方の糸が下がることが分かれば糸は両方合わせて2Lだけ動いたわけですから動滑車の動いた距離の倍の糸が必要だとわかります、糸がxa+xbだけ動くとxc/2だけ動くと言うことになると思うんですが、今回の場合両方の糸が同じだけ動いたことになってますがxaとxbが違う値だったら左側の糸だけ余分に下がったり右側の糸だけ余分に下がったりとかにはならないんでしょうか？

補足日時：2015/01/06 20:18

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 20:18

No.15 回答者： gohtraw 回答日時： 2015/01/06 17:43

＞何でこれがdだったら定滑車と動滑車を結ぶ糸の長さも

＞dだけ降りたことになるんですか？

動滑車が下に下がる前、ＰＰ’間、およびＱＱ’間には糸は存在しなかった。
一方、動滑車が下に下がった後、ＰＰ’間、およびＱＱ’間には糸がある。
この違いをどう説明するのか聴きたいものだ。

私ゃもう疲れたから、この質問からはこれでおさらばするよ。

この回答への補足

動滑車の動く前の中心から横に線を引いて横の糸との交点をP,Qとするんですよね？それで動滑車が動いたときに、動いた動滑車の中心から横に線を引いて両側の糸との交点をP',Q’とするんですよね、これだと動滑車の動きしか分からないじゃないですか？定滑車と動滑車を繋ぐ糸の動きはどうやって分かるんですか？

補足日時：2015/01/06 18:08

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 18:08

No.14 回答者： gohtraw 回答日時： 2015/01/06 16:42

＞この式は動滑車がdだけ下がった事しか示してないんじゃないですか？

論破されまくっていることも判らないんだ。
ＰＰ’やＱＱ’の長さが何を表しているか、考えもしない（できない）んだ。
ここまで来るとある意味清々しいな。

この回答への補足

>ＰＰ’やＱＱ’の長さが何を表しているか、考えもしない（できない）んだ。
PP'やQQ'って動滑車が降りたときの動滑車の中心から横に線を引いたときの糸との交点でそれとP.Qを結んだ線ですよね、何でこれがdだったら定滑車と動滑車を結ぶ糸の長さもdだけ降りたことになるんですか？

補足日時：2015/01/06 16:58

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2015/01/06 16:58