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問 次の2重積分を指定された変数変換を使って計算しなさい
∬D e^((x-y)/(x+y)) dxdy、
D={(x,y):1≦x+y≦2、x≧0、y≧0}
x=u(1-v)、y=uv
という問題です。
お願いします

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u-1」に関するQ&A: ∫[0→∞]du/(e^u - 1)=?

A 回答 (2件)

ヤコビアン|J|=|(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂x/∂v)(∂y/∂u)|


=|(1-v)u-uv|=u|(1-2v)|
dxdy=|J|dudv=u|(1-2v)|dudv
x-y=u(1-2v), x+y=u
I=∬[D] e^((x-y)/(x+y)) dxdy
=∬[E] e^(1-2v) u|(1-2v)|dudv,E={(u,v):1≦u≦2,0≦v≦1}
=∫[1,2] udu*∫[0,1] |(1-2v)|e^(1-2v)dv
={(4-1)/2}
 *{∫[0,1/2] (1-2v)e^(1-2v)dv+∫[1/2,1](2v-1)e^(1-2v)dv}
1-2v=tとおくと -2dv=dt
=(3/2){∫[1,0] te^t dt/(-2)+∫[0,-1] -te^t dt/(-2)}
=(3/4){∫[0,1] te^t dt-∫[-1,0] te^t dt}
=(3/4){[(t-1)e^t][0,1]-[(t-1)e^t][-1,0]}
=(3/4){2-(2/e)}
=(3/2)(e-1)/e
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2015/01/16 18:21

当方が計算すると・・



∬D e^((x-y)/(x+y)) dxdy   D={(x,y):1≦x+y≦2、x≧0、y≧0}
= ∫[0,2]{e^(1-2v)}dv・∫[0,2]{u}du-∫[0,1]{e^(1-2v)}dv・∫[0,1]{u}du
= e - 1/e^3 - (1/4)・(e - 1/e)
= (3/4)・e + 1/4e - 1/e^3

・・・となった。
x=u(1-v)、y=uvのヤコビアン
 |∂(x,y)/∂(u,v)| = u
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この回答へのお礼

たすかります

お礼日時:2015/01/16 18:22

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u-1」に関するQ&A: 構造因子の難問

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Q変数名やサブプロシージャーの名前を英語ではなく日本

VBAにおいて
変数名やサブプロシージャーの名前を英語ではなく日本語でつけると
どのような不具合が発生しますか?
ネット上のサンプルコードなどを見ていると、
Dim i As Long
など、変数名を英字にしてありますが
自分は
Dim 行 As Long
Dim 数 As Long
などにしてしまいます。

このように日本語で変数名をつけると
どのようなデメリット・不具合が発生するのでしょうか?

コードとして見にくいだけですか?
ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

日本語を表示できない環境とか、日本語が理解できない人が読む場合とか、そういう自明なデメリットを除くと特にないはずです。

Q重積分の変数変換問題

重積分について勉強していたら
∬x^2dxdy D:{(x,y)|x^2/a^2+y^2/b^2≦1}を
適当な変数変換を用いて解け
…という問題でつまってしまいました。
僕はx/a=u,y/b=vと変数変換して
与式=∬a^3bu^2dudv E:{(u,v)|u^2+v^2≦1}
として重積分して
  =∫[v:-1→1]dv∫[u:-√1-v^2→:√1-v^2]a^3bu^2du
=a^3b∫[v:-1→1][u^3/3][u:-√1-v^2→:√1-v^2]dv
=2a^3b/3∫[v:-1→1](1-v^2)^3/2dv
と求めましたが、これ以降が行き詰ってしましました。

これ以降の計算方法がわかる方、またはまったく異なる計算方法をご存知の方は教えてください!

Aベストアンサー

要するに ( 1 - v^2 ) ^ (3/2) の積分で詰まってしまったということでよいでしょうか。
一般に ( 1 - v^2 ) の形が出てくれば v = sin t の置換が有効です。
この場合
( 1 - v^2 ) ^ (3/2) dv = cos^3 t × cos t dt = cos^4 t dt

cos^2 t = ( 1 + cos 2t )ですので、
cos^4 t = 1 + 2 cos 2t + cos^2 2t
となり、もう一回半角の公式を使えば積分できます。

三角関数の積分は、cos x dx = d(sin x)を使うもの、
今回のように半角の公式を駆使するもの、
さらにtan (x/2) = t とおいて有理関数の積分に持ち込むもの等、
様々な手法があります
これを期に復習なさることを勧めます。


個人的には、この問題を見た時に思ったのは、
Dは楕円の内部ですよね。
そうすると、(x,y) = ( ar cos t, br sin t )で置換するのが一番楽ではないかと思います。

要するに ( 1 - v^2 ) ^ (3/2) の積分で詰まってしまったということでよいでしょうか。
一般に ( 1 - v^2 ) の形が出てくれば v = sin t の置換が有効です。
この場合
( 1 - v^2 ) ^ (3/2) dv = cos^3 t × cos t dt = cos^4 t dt

cos^2 t = ( 1 + cos 2t )ですので、
cos^4 t = 1 + 2 cos 2t + cos^2 2t
となり、もう一回半角の公式を使えば積分できます。

三角関数の積分は、cos x dx = d(sin x)を使うもの、
今回のように半角の公式を駆使するもの、
さらにtan (x/2) = t とおいて有理関数の積分に...続きを読む

Q項目数は英語で

フィールドの項目数を格納する変数を定義したいのですが、
適切な名前が思い当たりません。
項目数は英語でなんていうのでしょうか。
また、変数などを命名する際に参考になりそうなサイトがあればご紹介願います。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

通常、命名規約は変数のスコープとか型を現す接頭語などを定義しますが名称まで定義するのは珍しいです。

まあ、システムでの項目って業種、業態、業界などで取り扱う物が違いますし物によって同じものでも業界用語で呼ばれるものやその会社独特の名称で呼ばれるものがありますので

よくやるのが先頭1文字をスコープとし
g:プロジェクト内参照可能(Global、今はPublicと書きますが)
m:モジュール内参照可能(Module)
l:関数内(Procedure)の変数(Local)
p:関数の引数で指定されたもの(Parameter)

次に型
s:string,i:int,l:long,b:bool,d:date...
場合により2文字とか3文字を使う所もあるようです

プログラム名やフォーム名もシステムが大きくなると
先頭をサブシステム、次に処理タイミング、日次・月次・随時・年次・・・
の後に連番数字をつけて画面名とか
テーブル名も先頭をマスタ、トラン、ワーク・・・などを付ける等等、、、

テーブル等の項目名は最初に名前を付けた人に準じて命名してます。
自分が最初の場合はかなり適当です、極力あとで分かるようにと思ってつけますがやはりテーブルレイアウト参照しながら出ないとPGが作れないですが
YahooとかLivedoorの翻訳サイトで翻訳して適当なものを探しますが一般に使わない英単語を使うと後でなんだこれと思う事も良くありますので英語の苦手な私はローマ字表記がやはり見やすい気もします。
長い名前はコーディング時に面倒なので省略しながら。

ちなみに私ならフィールドの項目数位はローマ字にしないで単純にColCountでしょうね(笑)

通常、命名規約は変数のスコープとか型を現す接頭語などを定義しますが名称まで定義するのは珍しいです。

まあ、システムでの項目って業種、業態、業界などで取り扱う物が違いますし物によって同じものでも業界用語で呼ばれるものやその会社独特の名称で呼ばれるものがありますので

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次に...続きを読む

Q解析の重積分の変数変換の問題についての質問です。

解析の重積分の変数変換の問題についての質問です。
画像の問題を空間図形への変数変換によって解くと0になってしまいました。
答えは4π/5なんですが途中式がわからないので教えて下さい。

Aベストアンサー

 直交座標系(x、y、z)を極座標系(r、φ、θ)に変換します。

  被積分関数: x^2+y^2+z^2=r^2
  積分範囲:  r^2≦1  ⇔ 0≦r≦1
         (0≦φ≦2π、0≦θ≦π)

  微小量: dx・dy・dz=r^2 sinθ dr・dφ・dθ

I=∫[0→π]dθ ∫[0→2π] dφ ∫[0→1] dr r^2 r^2 sinθ
 =∫[0→π]sinθdθ ∫[0→2π] dφ ∫[0→1] r^4 dr
 =2×2π×(1/5)
 =4π/5


 ちなみに、 どうしたら 0 になりましたか?
 ひょっとしたら、 ∫[0→π]sinθdθ の計算を間違えていませんか?

 ∫[0→π]sinθdθ
=[-cosθ][0→π]
=-cosπ+cos0
=-(-1)+1
=2

Qプログラムの変数名にするとどうなりますか

変数になる単語とその英語の直訳です。これらを変数名にしてみてください


宿泊者氏名→Those who stay name
TEL→telNo
備考→Remarks
住所→Address
携帯番号→Mobile phone number
E-mail→E-mail
部屋No→Room No
人数(大人)→Number of people(Adult)
人数(小人)→Number of people(Child)
人数(幼児)→Number of people(Infant)
基本料金(大人)→Basic charge(Adult)
基本料金(小人)→Basic charge(Child)
基本料金(幼児)→Basic charge(Infant)
入湯税→Bathing tax
宿泊開始日→Staying start date

予約金→Reservation money
消費税あり  チェックボックス→Consumption tax
消費税なし  チェックボックス→Consumption tax none
清算日の当日処理を表す変数(ラジオボタン)  →Processing the day before of liquidation day
清算日の前日処理を表す変数(ラジオボタン)  →Processing the day before of liquidation day
清算日の指定日処理を表す変数(ラジオボタン) →Processing on specified day on liquidation day
精算書を作成ボタン→Adjustment book
画面を閉じるボタン→

変数になる単語とその英語の直訳です。これらを変数名にしてみてください


宿泊者氏名→Those who stay name
TEL→telNo
備考→Remarks
住所→Address
携帯番号→Mobile phone number
E-mail→E-mail
部屋No→Room No
人数(大人)→Number of people(Adult)
人数(小人)→Number of people(Child)
人数(幼児)→Number of people(Infant)
基本料金(大人)→Basic charge(Adult)
基本料金(小人)→Basic charge(Child)
基本料金(幼児)→Basic charge(Infant)
入湯税→Bathing tax
宿泊開始日→Staying st...続きを読む

Aベストアンサー

salsberry様の javaでは漢字も使える というのは間違いです。
""で括らない限り、エラーになります。

java 命名規約 で検索されると良いでしょう。

以下は私からのアドバイスです。

複数の単語が並ぶ場合は1つ目以外の単語の頭文字を大文字にして重ねます。
ちなみに長くなりすぎるのは好ましくありません。
意味が通じる最小単位にとどめましょう。
それと、余計な接続詞は省きます。
Mobile phone number → phoneNumber

同じ単語で意味合いが違う場合
そもそも、javaはオブジェクト指向言語です。
変数名で意味合いに違いを持たせる前に、クラスで違いを持たせるべきです。
つまり、
Adultクラス(大人に関する情報をとり扱う)クラス
Childクラス(子供に関する情報をとり扱う)クラス
Infantクラス(幼児に関する情報をとり扱う)クラス
をつくり、
それぞれに peopleNumber と basicCharge という変数を宣言しましょう。

消費税有り無しについては
まずは、
double tax という変数を宣言します。税率の計算はこれをかけるだけ
次に、
消費税ありの定数となしの定数を作りましょう。
public static final double EXIST_TAX = 1.05;
public static final dopuble NONE_TAX = 1.0;
あとは必要に応じて、tax に EXIST_TAX または NONE_TAX を代入しましょう。
この方が後から見て分かりやすいです。

コンポーネントの命名は "どのコンポーネントを使っているか" が重要です。

消費税あり チェックボックス→existTaxCheckBox
消費税なし チェックボックス→noneTaxCheckBox

salsberry様の javaでは漢字も使える というのは間違いです。
""で括らない限り、エラーになります。

java 命名規約 で検索されると良いでしょう。

以下は私からのアドバイスです。

複数の単語が並ぶ場合は1つ目以外の単語の頭文字を大文字にして重ねます。
ちなみに長くなりすぎるのは好ましくありません。
意味が通じる最小単位にとどめましょう。
それと、余計な接続詞は省きます。
Mobile phone number → phoneNumber

同じ単語で意味合いが違う場合
そもそも、javaはオブジェクト指向言語...続きを読む

Q2重積分 変数変換をする場合 どなたか教えていただけないでしょうか?

1.∫∫(x^2+y^2)dxdy  D={(x,y)|(x-1)^2+y^2≦1}
2.∫∫e^(-(x^2+y^2))dxdy D={(x,y)|0≦x,0≦y}

上記の問題について、変数変換を使用するんだろうなとは解るのですが、そこから実際どうやって解いていくのかわかりません。

1については(x-1)=rcosθ,y=rsinθとして変数変換するのでしょうか? 2については、x=rcosθ,y=rsinθとして考えてみたのですが、Dの領域が座標変換した場合にどうなるのかさっぱり見当が付きません。

変数変換をするところから答えを導出するまで、詳しい過程を教えていただける方がいらっしゃいましたら、よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

遅れて申し訳ないです、(2)については
極座標変換x=rcosθ,y=rsinθによって、
E={(r,θ)|0≦r,0≦θ≦π/2}に一対一にうつる。
ヤコビアンJ=rで、
e^(-(x^2+y^2))=e^(-r^2)だから、
∫∫e^(-(x^2+y^2))dxdy=∫∫e^(-r^2)|r|drdθ
となって、あとはどちらを先に積分しても
計算できると思います。
結果は、π/2*∫re^(-r^2)dr
=π/2*[-1/2*e^(-r^2)] (0から∞まで積分)
=π/2*(0+1/2)
=π/4
こんなかんじだと思います。

Q距離と道のりの英語での表現について

プログラムの変数名で悩んでいるのですが英語で直線の「距離」と道に沿った「道のり」を使い分けるにはどのようにしたらよろしいでしょうか?

Aベストアンサー

 どちらもdistanceと言います。

 journeyだと道に沿った距離は言っても、直線距離には使わないようです。こちらを道程という意味の変数に使ってはどうでしょう?

 直線距離なら、airline-distance, direct-distance, linear-distance, rectilinear-distance, straight-line-distanceのどれかを変数名にしてはどうでしょう?

Q2重積分の変数変換の範囲についてです。

2重積分の変数変換の範囲についてです。

∬f(x,y)dxdy=∬f(φ(u,v),ψ(u,v))|J|dudv
の式を用いて解く問題で、この式の使い方はわかるのですが、u,vの範囲の決め方がよくわかりません。

たとえば、
x=u(1+v),y=v(1+u)
0≦x≦2,0≦y≦x
となっていたら、
0≦u(1+v)≦2,0≦v(1+u)≦u(1+v)
を解けばいいんですよね?

答えでは、v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1となっていました。
uの範囲は理解できますが、vの範囲(v≦1の部分が)がどうしてこうなるのかがわかりません。

同様にx=u+v,y=u-v
0≦x≦2,0≦y≦2-x

0≦u≦1,-u≦v≦u
のvの範囲(v≦uの部分が)がどうしてこうなるのかわかりません。

教えてください。

Aベストアンサー

>0≦u(1+v)≦2,0≦v(1+u)≦u(1+v)
>を解けばいいんですよね?
その通り。でも

>答えでは、v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1となっていました。
は間違い。

uをx軸(横軸)、vをy軸(縦軸)にとって(u,v)の存在領域を図示すれば
積分領域が明確に分かるかと思います。
正解:「v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1」及び「(2/u)-1≦v≦u,-2≦u≦-1」

>同様にx=u+v,y=u-v
>0≦x≦2,0≦y≦2-x
>で
>0≦u≦1,-u≦v≦u
>のvの範囲(v≦uの部分が)がどうしてこうなるのかわかりません。
0≦u+v≦2,0≦u-v≦2-u-v
をuv平面に描くと領域が図の斜線の領域になります。式で書けば
0≦u≦1,-u≦v≦u

Q時刻と時間を明確に区別したい時の変数名

変数名の付け方(英語)でお聞きしたいことがあります。

時刻 ・・・ 整数値 (0~2359)
時間 ・・・ 整数値 (0~上限無し)

という2つの概念があり、これらの変数名を明確に区別して付けたい時、
皆さんはどんな英単語を使いますか?

timeだとどっちだか分からないのでちょっと悩んでます。
でも、英語には時刻と時間を明確に区別する単語って無いですよね?

Aベストアンサー

例えば下記の単語で使い分けるのはどうでしょうか。

time:〔連続{れんぞく}した〕時間  (http://eow.alc.co.jp/time/UTF-8/)

term:〔限られた〕期間{きかん}、時間{じかん}  (http://eow.alc.co.jp/term/UTF-8/)

alcのサイトで調べた時の意味から抜粋しています。
(http://www.alc.co.jp/index.html)

参考URL:http://www.alc.co.jp/index.html

Q媒介変数表示の2重積分の問題です

媒介変数表示の2重積分の問題です

曲線C
x=θ+sinθ
y=1+cosθ
(-π≦θ≦π)

Cとx軸で囲まれる領域をDとすると 面積 ∬D dxdy についてです。

式がサイクロイドと似てたので、dy/dxをθで書き直したりしましたが、解答には結びつきませんでした・・。
これはまずyをxの関数としてあらわす必要があるのでしょうか?
その計算もちょっとできないままなのですが・・。どうかそれも含めてご教示お願いします・・。

Aベストアンサー

>これはまずyをxの関数としてあらわす必要があるのでしょうか?
表す必要はありません。

>面積 ∬D dxdy

S=∬D dxdy
=∫[-π,π] {∫[0,y(θ)} 1 dy}dx
=∫[-π,π] y(θ)(dx/dθ)dθ

ここで y=y(θ)=1+cosθ
 dx/dθ=(θ+sinθ)'=1+cosθ
を代入すれば積分は媒介変数θだけの積分になりますね。
つまり

S=∫[-π,π] (1+cosθ)^2 dθ

偶関数の積分なので区間[-π,0}の積分と区間[0,π}の積分は等しくなるので
S=2∫[0,π] (1+cosθ)^2 dθ
で計算すれば良いです。

被積分関数は次のように変形できるので項別積分すれば良いでしょう。
(1+cosθ)^2=1+2cosθ+cos^2θ=1+2cosθ+(1/2)(1+cos2θ)
=(3/2)+2cosθ+(1/2)cos(2θ)

S=2∫[0,π](3/2)dθ+2∫[0,π] 2cosθdθ+2∫[0,π](1/2)cos(2θ)dθ

この積分なら出来ますね。

やってみて下さい。

S=3π となればOKです。

>これはまずyをxの関数としてあらわす必要があるのでしょうか?
表す必要はありません。

>面積 ∬D dxdy

S=∬D dxdy
=∫[-π,π] {∫[0,y(θ)} 1 dy}dx
=∫[-π,π] y(θ)(dx/dθ)dθ

ここで y=y(θ)=1+cosθ
 dx/dθ=(θ+sinθ)'=1+cosθ
を代入すれば積分は媒介変数θだけの積分になりますね。
つまり

S=∫[-π,π] (1+cosθ)^2 dθ

偶関数の積分なので区間[-π,0}の積分と区間[0,π}の積分は等しくなるので
S=2∫[0,π] (1+cosθ)^2 dθ
で計算すれば良いです。

被積分関数は次のように変形できるので項別積分すれば良いでしょ...続きを読む


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