この問題で困っています。

問 次の2重積分を指定された変数変換を使って計算しなさい
∬D e^((x-y)/(x+y)) dxdy、
D={(x,y):1≦x+y≦2、x≧0、y≧0}
x=u(1-v)、y=uv
という問題です。
お願いします

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u-1」に関するQ&A: ∫[0→∞]du/(e^u - 1)=?

A 回答 (2件)

ヤコビアン|J|=|(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂x/∂v)(∂y/∂u)|


=|(1-v)u-uv|=u|(1-2v)|
dxdy=|J|dudv=u|(1-2v)|dudv
x-y=u(1-2v), x+y=u
I=∬[D] e^((x-y)/(x+y)) dxdy
=∬[E] e^(1-2v) u|(1-2v)|dudv,E={(u,v):1≦u≦2,0≦v≦1}
=∫[1,2] udu*∫[0,1] |(1-2v)|e^(1-2v)dv
={(4-1)/2}
 *{∫[0,1/2] (1-2v)e^(1-2v)dv+∫[1/2,1](2v-1)e^(1-2v)dv}
1-2v=tとおくと -2dv=dt
=(3/2){∫[1,0] te^t dt/(-2)+∫[0,-1] -te^t dt/(-2)}
=(3/4){∫[0,1] te^t dt-∫[-1,0] te^t dt}
=(3/4){[(t-1)e^t][0,1]-[(t-1)e^t][-1,0]}
=(3/4){2-(2/e)}
=(3/2)(e-1)/e
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2015/01/16 18:21

当方が計算すると・・



∬D e^((x-y)/(x+y)) dxdy   D={(x,y):1≦x+y≦2、x≧0、y≧0}
= ∫[0,2]{e^(1-2v)}dv・∫[0,2]{u}du-∫[0,1]{e^(1-2v)}dv・∫[0,1]{u}du
= e - 1/e^3 - (1/4)・(e - 1/e)
= (3/4)・e + 1/4e - 1/e^3

・・・となった。
x=u(1-v)、y=uvのヤコビアン
 |∂(x,y)/∂(u,v)| = u
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この回答へのお礼

たすかります

お礼日時:2015/01/16 18:22

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u-1」に関するQ&A: 構造因子の難問

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Q∬sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのですが、上記二者は全く同じ問題ではないので、こことは別なあるご相談サイトで前者の問題
∬_S sin(x+y)dxdy;0≦x,0≦y,x^2+y^2≦1・・・・・について質問したところ、次のような回答がありました。

その回答の抜粋;”私も積分値が何なのかは知りませんが、積分領域の S の面積がπ/4 で、sin(x+y)≦1 なので積分値はπ/4 以下になります。”
あとで気づいたのですが、この記述は、
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の答えと矛盾するような気がしますが、どうでしょうか?
当方独学の部分が多いため、わからなくなって困っております。宜しくお願い致します。

∬_S sin(x+y)dxdyの解を求めよ。
ただしS:={(x,y);x≧0,y≧0,x^2+y^2≦1}とする。

と言う問題ですが、検索したところ類似問題の答えを見つけました。
以下をご覧ください。
--------------------------------------------------------------
この先生http://www.math.meiji.ac.jp/new/35.htmlの
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaisekigairon-2/exercise1.pdf
の中の2.の(5)の答えは"2"になっております。
------------------------------------------------
さて、ちょっとややこしいのです...続きを読む

Aベストアンサー

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i=integrate%28integrate%28sin%28x%2By%29%2Cy%2C0%2Csqrt%281-x%5E2%29%29%2Cx%2C0%2C1%29
integrate(integrate(sin(x+y),y,0,sqrt(1-x^2)),x,0,1)

参考URL:http://homepage3.nifty.com/gakuyu/suti/sekibun/gauss-int.html

∫[S] sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)dxdy
=∫[0,1]{sin(x)∫[0,√(1-x^2)]cos(y)dy+cos(x)∫[0,√(1-x^2)]sin(y)dy}dx
=∫[0,1]{sin(x)sin√(1-x^2)-cos(x)[cos√(1-x^2)-1]}dx
=∫[0,1]cos(x)dx-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx
=sin(1)-∫[0,1] cos{x+√(1-x^2)}dx …(◆)
≒0.8414709848-0.2793082485
≒0.5621627363
(◆)の第二項の定積分は解析的に行えませんので数値計算(ガウス数値積分法その他→参考URL参照)で計算します。

積分そのものは以下のサイトで数値積分してくれます。
ttp://www10.wolframalpha.com/input/?i...続きを読む

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

QX-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、

X-Y平面の領域D={(x,y)|0≦x≦1,x-1≦y≦x+1}を、x/y=u,y=vとして、U-V平面での領域で表したいのですが、どうにもできません。誰か教えてください。

Aベストアンサー

定義域をどう変換したら良いかわからないという意味の質問と捉えるならば、(<、>の下の等号は省略)
0<x<1 より両辺を足したり引いたりすれば、
1<x+1<2
-1<x-1<0
よってx-1<y<x+1 は -1<y<2 となり、 -1<v<2
また、x/y=uより0<x<1は0<uy<1
これから両辺に(題意としてy=v=0は定義されないので)1/yを掛ければ
0<u<1/y=1/v となりvの定義域から1/vの定義域の上限は無限大なので
0<uのみとなる。
結果、-1<v<2、0<uが領域の変換後の回答です。


 

Qx,yは実数x^2+y^2=36,y≧0を満たす時、(□-□√□)/5≦(y-3)/(x-9)≦□を埋めよ

こんばんわ。宜しくお願い致します。

[問]
x,yは実数x^2+y^2=36,y≧0を満たす時、
(□-□√□)/5≦(y-3)/(x-9)≦□
を埋めよ。

という問題で困ってます。
(y-3)/(x-9)=k
とおいてから
y=kx-9k+3
から先に進めません。
何か良い方法がありましたらお教え下さい。

Aベストアンサー

x^2+y^2=36,y≧0 は、原点中心の半径6の円の上半分
(y-3)/(x-9)=k
とおくと
(y-3)=k(x-9) は、(9,3)を通る直線
この直線が半円と共有点を持つときの傾きkの範囲を求めるということ。
最大値はすぐわかりそう。
「最小値は直線と原点の距離が6」という条件でやったらいいと思います。

QD={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}とする。

D={(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦x}とする。
∬{(4x^2)-(y^2)}^1/2dxdyを求めよ。
但し、d/dt[t/2{(4a^2)-t^2}^(1/2)+(2a^2)sin^-1(t/2a)]={(4a^2)-t^2}^1/2
答えに逆関数は残ってしまいますか?
一応答えも載せて頂けるとありがたいです。

Aベストアンサー

int[y:0,x]dy/root{4x^2-y^2}=arcsin(x/2x)-arcsin(0,2x)=π/6.

int[x:0,1]π/6dx=π/6.

間違ってる?


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