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問 次の2重積分を指定された変数変換を使って計算しなさい
∬D e^((x-y)/(x+y)) dxdy、
D={(x,y):1≦x+y≦2、x≧0、y≧0}
x=u(1-v)、y=uv
という問題です。
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u-1」に関するQ&A: ∫[0→∞]du/(e^u - 1)=?

A 回答 (2件)

ヤコビアン|J|=|(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂x/∂v)(∂y/∂u)|


=|(1-v)u-uv|=u|(1-2v)|
dxdy=|J|dudv=u|(1-2v)|dudv
x-y=u(1-2v), x+y=u
I=∬[D] e^((x-y)/(x+y)) dxdy
=∬[E] e^(1-2v) u|(1-2v)|dudv,E={(u,v):1≦u≦2,0≦v≦1}
=∫[1,2] udu*∫[0,1] |(1-2v)|e^(1-2v)dv
={(4-1)/2}
 *{∫[0,1/2] (1-2v)e^(1-2v)dv+∫[1/2,1](2v-1)e^(1-2v)dv}
1-2v=tとおくと -2dv=dt
=(3/2){∫[1,0] te^t dt/(-2)+∫[0,-1] -te^t dt/(-2)}
=(3/4){∫[0,1] te^t dt-∫[-1,0] te^t dt}
=(3/4){[(t-1)e^t][0,1]-[(t-1)e^t][-1,0]}
=(3/4){2-(2/e)}
=(3/2)(e-1)/e
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2015/01/16 18:21

当方が計算すると・・



∬D e^((x-y)/(x+y)) dxdy   D={(x,y):1≦x+y≦2、x≧0、y≧0}
= ∫[0,2]{e^(1-2v)}dv・∫[0,2]{u}du-∫[0,1]{e^(1-2v)}dv・∫[0,1]{u}du
= e - 1/e^3 - (1/4)・(e - 1/e)
= (3/4)・e + 1/4e - 1/e^3

・・・となった。
x=u(1-v)、y=uvのヤコビアン
 |∂(x,y)/∂(u,v)| = u
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この回答へのお礼

たすかります

お礼日時:2015/01/16 18:22

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たとえば、
x=u(1+v),y=v(1+u)
0≦x≦2,0≦y≦x
となっていたら、
0≦u(1+v)≦2,0≦v(1+u)≦u(1+v)
を解けばいいんですよね?

答えでは、v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1となっていました。
uの範囲は理解できますが、vの範囲(v≦1の部分が)がどうしてこうなるのかがわかりません。

同様にx=u+v,y=u-v
0≦x≦2,0≦y≦2-x

0≦u≦1,-u≦v≦u
のvの範囲(v≦uの部分が)がどうしてこうなるのかわかりません。

教えてください。

Aベストアンサー

>0≦u(1+v)≦2,0≦v(1+u)≦u(1+v)
>を解けばいいんですよね?
その通り。でも

>答えでは、v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1となっていました。
は間違い。

uをx軸(横軸)、vをy軸(縦軸)にとって(u,v)の存在領域を図示すれば
積分領域が明確に分かるかと思います。
正解:「v≦u≦2/(1+v),0≦v≦1」及び「(2/u)-1≦v≦u,-2≦u≦-1」

>同様にx=u+v,y=u-v
>0≦x≦2,0≦y≦2-x
>で
>0≦u≦1,-u≦v≦u
>のvの範囲(v≦uの部分が)がどうしてこうなるのかわかりません。
0≦u+v≦2,0≦u-v≦2-u-v
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0≦u≦1,-u≦v≦u

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どうして∬dxdy=∬drdθかけるrなのでしょうか
なぜrをかけるのかわかりません どうやら行列をつかったりする必要があるらしいのですがちょっとわかりずらいです  わかりやすく教えてもらえないでしょうか?

Aベストアンサー

■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。
直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
となります。
なので
∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
となるのです。

●数式で扱う場合はヤコビ行列を使って座標変換ができます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
この中の円座標の所が二次元の極座標のヤコビアン|J|の計算で
|J|=rが出てきますのでこれを使って変数変換
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
をします。
実際の計算は
x=rcosθ,y=rsinθ
から
ヤコビ行列Jを求めて
J=
(∂x/∂r,∂x/∂θ)
(∂y/∂r,∂y/∂θ)
=
(cosθ,-rsinθ)
(sinθ,rcosθ)
これからヤコビアン|J|を求めれば
|J|=
|cosθ,-rsinθ|
|sinθ, rcosθ|
=r(cos^2θ+sin^2θ)=r
となりますので機械的に
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
と変数変換すればいいことになります。

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■各座標系の面積素(微小な面積を表す成分要素)dSがどう表されるかを考えて見てください。
直交XY座標では微小な面積素dS=dxdyで表されます。
横幅dx,高さdyの長方形の面積はその積dxdyで表されるので
dS=dxdy
ということです。
一方、極座標系では
半径r方向の微小な長さの幅dr,偏角θ方向(円弧方向)の微小な長さはrdθで表されます。従って極座標(r,θ)における面積素dSの微小な面積は
dS=(dr)×(rdθ)=rdrdθ
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∫dS=∬dxdy=∬rdrdθ
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Aベストアンサー

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