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ある問題の回答で、サインのN乗のゼロから二分のパイまでの積分と、コサインN乗の同じ範囲の積分は等しい、ということが説明抜きに書いてありました。これは自明のことなのでしょうか?

A 回答 (7件)

自明といってよいでしょう。



sin(x)とcos(x)は[0,π/2]においてx=π/4に対して対称です。これはN乗しても同じです。
ですのでsin^N(x),cos^N(x)とx軸、x=0とx=π/2で囲まれたグラフはx=π/4に対して対称ですので面積も等しい。
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#5のものです。



>対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。

それでよい。
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「単なるsin^n(x)は置換積分できない」というなら別の置き換え方を考えればいい.



積分した値が必要なわけじゃないんだから.
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#2のものです。



#3の方へ。
>面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って

n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。

違う、違う。
N乗したものの積分は、N乗したもののグラフがつくる面積ですよね。
N乗したものグラフの面積が等しい=N乗したものの積分の値が等しい
ということです。sin(x)とcos(x)のグラフがつくる面積が等しい、ということから議論しているわけではありません。

sin(x)とcos(x)のグラフはx=π/4を中心に対象です。これはN乗したグラフでも同じです。
だからN乗したグラフでも[0,π/2]の部分の面積は等しいよね、ということなのです。

この回答への補足

対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。

補足日時:2015/01/14 19:09
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置換積分すれば容易にわかる.

この回答への補足

sin^n(x)cos(x)という形であれば置換積分できるが、単なるsin^n(x)は置換積分できない、という文脈での問題なのですが・・・・・

補足日時:2015/01/14 19:13
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#1さん、#2さん、



私も皆さんと同じように考えていたのですが

面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って

n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。
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cosとsinのグラフを 0 から π/2 まで書いてみてください。


そうすると cos と sin は面積は全く等しいですよね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時:2015/01/14 19:33

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