ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

√(a^2 - x^2)を0からaまで積分するのに x = asinθと置換しますが、こうした置換は自由にできるのでしょうか。
たとえばそれが有効かどうかは別として、 x = alog(y)のように置換して1からeまで積分しても正しい答えが出るのでしょうか。

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A 回答 (4件)

#3です。



置換失敗といったのは実践的な意味であって、例えば試験場では行き詰るという意味です。

数学公式集を探していくとさまざまな原始関数が出ていて、うまくヒットする場合がありますが

時間がかかることと、見つけた公式を使いこなすには理系の大学生並みの相当な計算力が必要いう意味です。
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下記のurlに「置換積分の公式は合成関数の微分の公式に対応するものである。

」とされており、

x=f(t)として積分区間内に不連続点を有するようなたちの悪い関数を選ばない限り、

置換に対する制限は緩いと思っていいでしょう。問題は置換したことによってうまく

原始関数が見つかるかということであって、経験と勘を要するものです。定積分

I=∫(0→a)√(a^2 - x^2)dx

に対して

x = alog(y)

を選んだ場合、まず置換積分を実行すると

dx/dy=a/y ⇒ dx=(a/y)dy

x=0でy=1, x=aでy=e

I=∫(0→a)(√(a^2 - x^2)dx=a∫(1→e)√(1 - log(y)^2)(a/y)dy

=a^2∫(1→e)[√(1 - log(y)^2)/y]dy

したがって

g(y)=√(1 - log(y)^2)/y

の原始関数を求める必要があり置換する前より状況は悲惨です。結論は置換失敗です。


x = asint

という置換を行った場合は

dx=acostdt

x:0→a ⇒ t:0→π/2

I=∫(0→a)√(a^2 - x^2)dx=a^2∫(0→π/2)cos^2tdt=(a^2/2)∫(0→π/2)[cos2t+1]dt

となり原始関数F(t)が容易に見つかり(F(t)=(1/2)sin2t+t, F'(t)=cos2t+1)

I=(a^2/2)[(1/2)sin2t+t](0→π/2)=a^2/4

が計算できます。

参考URL:http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekib …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2015/01/19 13:43

>こうした置換は自由にできるのでしょうか。


できます。その置換で積分計算が容易になるか、難しくなるかは別問題ですが…。
通常、置換は積分計算が容易になるような置換をするのが普通です。わざわざ積分計算がより困難になる置換であれば、本来の置換する目的に合いません。積分が容易になるような置換ならかまいません。そのような置換は1通りとは限りません。

>たとえばそれが有効かどうかは別として、 x = alog(y)のように置換して1からeまで積分しても正しい答えが出るのでしょうか。
もちろんその置換であれば積分は難しくなりますが、正しい答がでます。

a>0として x=alog(y)で置換すると dx=(a/y)dy, x:0→aのとき y:1→e なので
I=∫[1,e] a(1-(log(y))^2)^(1/2)}(a/y)dy
=(a^2/2)[arcsin(log(y))+(a^2/2)log(y)√(1-(log(y))^2)]][1,e]
=(a^2/2){arcsin(1)-arcsin(0)+1*0-0*1}
=(a^2/2)(π/2)
=(π/4)a^2
と正しい答が得られます。(半径aの1/4円の面積)
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2015/01/19 13:41

計算を間違えなければどうやっても同じ答えにたどり着く.

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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2015/01/19 13:40

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