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1【m】あたり、+0.50マイクロ【C】に帯電した無限長の直線帯電体が空気中にあるとします。このとき、帯電体から2.5【cm】離れた場所に作られる電界の大きさの求め方を教えてください。

まったくわからなく、すごく困っています。回答よろしくお願いいたします。

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A 回答 (7件)

>D=ρ/(2πr)



補足しておくと、電界が 直線帯電体を中心に放射状になっているとすると

直線帯電体を中心とする半径rの円筒の側面上での電束密度 D =
長さ 1 mの直線帯電体の電荷(ρ x 1 m) ÷ 長さ 1 m 半径rの円筒の側面積(2πr x 1 m)

ガウスの定理:
電束は電荷から発生するが、それ以外からは発生せず、増えたり減ったりしない。
→閉局面上の電束密度を面積分すると、閉局面に含まれる電荷になる。

電荷は水の吹き出し口で、電束密度は水流と考えるとわかりやすいです。
電界と直交し、電界の強さが一定になる面を見つければ、電界を暗算で計算できます。
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この回答へのお礼

何度もありがとうございました。
勉強になりました。

お礼日時:2015/01/25 15:53

「ガウスの定理」って、記憶にありますね。


いまから復習します。

でも、折角計算したので、結果報告。
tknakamuriさんのと一致しています。
ビオバザールとか出てきたら、結局積分する問題が出るので、役に立つと思います。

assume(B > 0)$
r2:x^2+B^2$
dE1 : (A * dx)/(4 * %pi * e0 * r2);
dE3 = dE1 * B/sqrt(B^2+x^2);
rhs(%)/dx;
integrate(%, x, 0, inf);
%*2;

(%i4) r2:B^2+x^2
(%i5) dE1:A*dx/(4*%pi*e0*r2)
(%o5) dx*A/(4*%pi*e0*(B^2+x^2))
(%i6) dE3 = dE1*B/sqrt(x^2+B^2)
(%o6) dE3 = dx*A*B/(4*%pi*e0*(B^2+x^2)^(3/2))
(%i7) rhs(%)/dx
(%o7) A*B/(4*%pi*e0*(B^2+x^2)^(3/2))
(%i8) integrate(%,x,0,inf)
(%o8) A/(4*%pi*e0*B)
(%i9) %*2
(%o9) A/(2*%pi*e0*B)
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この回答へのお礼

本当にありがとうございます。

お礼日時:2015/01/25 15:53

まちがい。

やり直し。
2πrD=ρ (r:中心からの距離、D:電束密度 ρ:電荷密度)
D=ρ/(2πr)
E=D/ε=ρ/(2πrε)
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この回答へのお礼

何度もありがとうございました。

お礼日時:2015/01/25 15:52

πr^2・D=ρ (r:中心からの距離、D:電束密度 ρ:電荷密度)


D=ρ/(πr^2)
E=D/ε=ρ/(πr^2・ε)
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この回答へのお礼

遅くなり申し訳ありません。
回答ありがとうございました。

これからもよろしくお願いいたします。

お礼日時:2015/01/25 15:52

ガウスの定理を知っていれば


簡単に求まります。

積分不要。
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この回答へのお礼

遅くなり申し訳ありません。
回答ありがとうございました。

これからもよろしくお願いいたします。

お礼日時:2015/01/25 15:52

復習がてら、考えてみました。


答えも出ていますが、久しぶりの電界の問題で自信がないです。
要望があったら、公開を考えます。でも、答え合わせをしたいので、解答を教えて下さい。


図:
http://fast-uploader.com/file/6977438096523/

+0.50マイクロ【C】→これをA[C/m]とする。

原点Oから距離xだけ離れた位置の、微小距離dxにはA dx[C]の微小電荷がある。
この微小電荷が、この直線から距離B[m]離れた場所Pに作る微小な電界の強さdE1は
  dE1=(A dx)/(4 pi e0 r^2) ... (1)
これを積分する(∫dE1=E1)と電界の強さが得られそうですが、
ベクトルは積分できない(dE1の向きはxによって変わるし)。
しかし図からdE1 = dE2 + dE3であり、x > 0側のdE2とx < 0側のdE2は打ち消し合う。
残るdE3の向きは一定なので、これは積算できる。


斜辺rとBの角度をθとすると、

  θ=tan-1(x/B) ...(2)
  dE3 = dE1 x cos(θ) ...(3)
  r^2 = B^2 + x^2 ...(4)


上記(2), (3), (4)式を(1)に代入するとdE3, dxだけの式が出来上がるので
  dE=f(x)dx
にして、両辺を定積分する。積分区間は0から∞。
これはx > 0分だけなので、x < 0分も入れるには答えを二倍する。
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この回答へのお礼

遅くなり申し訳ありません。
回答ありがとうございました。
3.6×10^5V/mが正しいそうです。
これからもよろしくお願いいたします。

お礼日時:2015/01/25 15:51

>まったくわからなく、すごく困っています。



定義から求める場合には、定積分を使う必要があります。
あなたは定積分を使いこなしますか?
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この回答へのお礼

遅くなり申し訳ありません。
回答ありがとうございました。
3.6×10^5V/mが正しいそうです。
これからもよろしくお願いいたします。

お礼日時:2015/01/25 15:51

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Q電界の強さの求め方について

よろしくお願いします。
大学受験問題集に載っている問題です。電界の強さをガウスの法則を使って求める問題なのですが、ガウスでは、球面、今回は、円柱で、その際の使い方がよくわかりません。

問題
一直線上に、単位長さあたりσ(C/m)の正電荷が一様に分布している。この直線からr(m)離れた点での電界の強さを求めよ。

解説
対称性から電気力線は直線Lに垂直になる。Lに沿って長さl(m)の部分にはσl(C)の電気量があり、N=4πkσl(本)の電気力線が出て、---☆
半径r(m)の円柱面(表面積S==2πrl)を貫いている。対称性から面上の電界Eは共通であり、
E=N/S=4πkσl/2πrl=2kσ/r(N/C)

とありますが、☆のところで質問です。
どうして、N=4πkσl(本)となるのでしょうか?
ガウスの法則では、総本数はN=4πkQ(本)となっていて、きっとこのQをσlにおきかえたのだと思いますが、
そもそもここでガウスの法則は使えるのでしょうか?ガウスの法則でN=4πkQ(本)となっているのは、電荷Qから半径rのところの電気力線の総本数で、球面の表面積が4πr^2だから、総本数N=(kQ/r^2)×4πr^2となっていると思います。
でも、今回の問題は、球ではなく、円柱と考えられるので、表面積は4πr^2にはならないので、総本数も4πkQ(4πkσl)にはならないと思います。

自分なりに考えてみると、電界E=総本数N/表面積Sで、表面積は、2πrl。総本数は、r離れたところで、kσ/r^2で、これは、1m^2当たりの本数なので、表面積全体では、kσ/r^2×2πrlかなと思いました。

ただ、どうも違うような気もします。

きっと解説があっているのだとは思いますが、どうして、☆のようになるのかと、自分の考え方のどこが間違っているのかがわかりません。

アドバイスをいただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。

よろしくお願いします。
大学受験問題集に載っている問題です。電界の強さをガウスの法則を使って求める問題なのですが、ガウスでは、球面、今回は、円柱で、その際の使い方がよくわかりません。

問題
一直線上に、単位長さあたりσ(C/m)の正電荷が一様に分布している。この直線からr(m)離れた点での電界の強さを求めよ。

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対称性から電気力線は直線Lに垂直になる。Lに沿って長さl(m)の部分にはσl(C)の電気量があり、N=4πkσl(本)の電気力線が出て、---☆
半径r(m)の円柱面(表面積S==2πrl...続きを読む

Aベストアンサー

質問者さんが困っている(混乱している)根源ともいえる問題は比例定数kにあります。実はこのkの中にすでに(1/4π)が含まれているのです。

まず、教科書に載っていると思いますが
k=1/4πε0・・・(1)
です。ε0は真空の誘電率と呼ばれるものですが、今のうちはただの定数と思ってください。
こうすると
N=Q/ε0(=ES)…(2)
となります。つまり、「電気力線の本数Nは領中の総電荷Qに比例し、その比例定数は1/ε0である」ってことです。
ここで
“電荷Qから半径rのところの”の電場Eを考えます。表面積は4πr^2ですので
N=Q/ε0=E・4πr^2
E=(1/4πε0)・Q/r^2
でも、この形だと初学者から見ると「覚えにくいし分かりにくい」ってなってしまうので(1)のようにkをおいて
E=k・Q/r^2
ってなるわけです。つまり、k自体が「“電荷Qから半径rのところの”の電場Eを考えるため」に出てきた定数であるので、もとのガウス定理に戻ると
N=4πkQ
という、4πを含んでしまった式になるのです。個人的には(2)の方が理解しやすいと思いますけどね…。

質問者さんが困っている(混乱している)根源ともいえる問題は比例定数kにあります。実はこのkの中にすでに(1/4π)が含まれているのです。

まず、教科書に載っていると思いますが
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