ちくのう症(蓄膿症)は「菌」が原因!?

独立なベクトルの組を選び出し、それらの1次結合で残りのベクトルを表す問題なのですが解き方がわかりません。教えてください。

具体的な問題は
a=(-1,-2,2),b=(-3,-6,6),c=(1,1,0),d=(0,-2,4),e=(0,0,1)
です。よろしくお願いいたします。

A 回答 (3件)

3次元ベクトルなのだから独立なベクトルは最大で3つです。

順番に求めていきましょう。
まず1つ目はどれでもいいです。後で計算が楽になるように簡単そうなe=(0,0,1)を選びましょう。
次に簡単そうなのはc=(1,1,0)ですが,これはeを何倍しても作れませんからeとは独立です。これで2つ目が決まりました。
次に簡単そうなのはd=(0,-2,4)です。これをc,eを何倍かして足すことで作れるかどうかを確認します。
(0,-2,4)=A(1,1,0)+B(0,0,1)です。
1番目の成分に注目すると0=Aとなりますから(0,-2,4)=B(0,0,1)です。これは不可能ですね。
したがってdとc,eとは独立です。これで3つ目が決まりました。
あとは必ず一次従属です。
a=(-1,-2,2)=A(1,1,0)+B(0,-2,4)+C(0,0,1)を解きます。
1番目の成分に注目してA=-1
2番目の成分に注目してB=1/2
次のC=0は簡単ですね。
b=(-3,-6,6)=A(1,1,0)+B(0,-2,4)+C(0,0,1)の方は解くまでもなく,b=3aですからA=-3,B=3/2,C=0

この回答への補足

答えはa,c,eが1次独立でb=3a,d=2a+2cです。dは1次結合でどうやって求めればいいですか?

補足日時:2015/01/21 21:48
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行列にすると、行列式が0にならない


3べクトルを適当に選ぶ。
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1次独立な組み合わせは一意には決まりませんので,もちろんa,c,eの組み合わせでもOKです。


この場合には
d=(0,-2,4)=A(-1,-2,2)+B(1,1,0)+C(0,0,1)
の係数A,B,Cを求めます。展開すると
0=-A+B
-2=-2A+B
4=2A+C
ですので,1番目の式から2番目の式をひいて2=A
したがって2番目の式からB=2
これらと3番目の式からC=0です。
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Aのほうはできたのですが、下のBは全く分かりません。

分かるといえば、 a={a(x) i + b(y) j}と表せるくらいなんです。


(1)c=(14,12)
(2)d=(-3,1)
(3)e=(1,1)

Aベストアンサー

こんにちは!
難しく考えないで、
>分かるといえば、 a={a(x) i + b(y) j}と表せるくらいなんです。
              ↑
このカタチにあらわしてみたらいいと思いますよ!
まず
>(1)c=(14,12)

c=ia+jbとあらわしてみましょう。
(14,12)=i(1,3)+j(4,2)ということですから、それぞれの
x成分、y成分どうしを比べます。
14=i+4j
12=3i+2j
というi,jについての連立方程式を解くと
i=3,j=2とでてきます。このことは、
c=3a+2b   というかたちであらわせる、ということになります。

>(2)d=(-3,1)

これも同様にしましょう。
d=ia+jbとおきましょう。すると、ベクトルの成分であらわすと
(-3,1)=i(1,3)+j(4,2)
となるので、それぞれ
-3=i+4j
1=3i+2j
となります。これらを解いて
i=1,j=-1
したがって、ベクトルdは
d=a-b とかけることになります。

>(3)e=(1,1)

これも同様に
e=ia+jb とおきます。
(1,1)=i(1,3)+j(4,2)
1=i+4j
1=3i+2j
これを解いて
i=1/5,j=1/5
したがって、ベクトルeは
e=1/5*a+1/5*b とかけることになります。

こんにちは!
難しく考えないで、
>分かるといえば、 a={a(x) i + b(y) j}と表せるくらいなんです。
              ↑
このカタチにあらわしてみたらいいと思いますよ!
まず
>(1)c=(14,12)

c=ia+jbとあらわしてみましょう。
(14,12)=i(1,3)+j(4,2)ということですから、それぞれの
x成分、y成分どうしを比べます。
14=i+4j
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