数学の質問です。

cosθ＝sin（θ+π/2）　はどうして成り立つのですか？

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/22 01:04

横軸にθ,縦軸にyをとってy=cosθ,y=sinθのグラフが描けますか。

２つの曲線をじっくり眺めてください。

結局y=cosθはy=sinθをπ/2だけ左にずらしたものだということがわかりますか。

cosθ＝sin（θ+π/2）はそのことを示しています。

式の証明としては加法定理で一発ですが次のようにすることもできます。

直角三角形を考えればすぐわかるように

cosθ=sin(π/2-θ)　　(1)

sinθのグラフを見て

sinθ=sin(π-θ) (2)

がわかります。

(2)のθにπ/2-θを入れると

sin(π/2-θ)=sin(π-(π/2-θ))=sin(θ+π/2) (3)

(1),(3)より

cosθ=sin(π/2-θ)=sin(θ+π/2)

No.2 回答者： opiok 回答日時： 2015/01/22 22:20

直角三角形で考えると分かりやすいです。

xy平面上に点A（1，√3）を取り、ここからx軸に下した垂線の足をHとし、直角三角形AOHを考えます。
AO=2であり、θ=π/3であって、cos（π/3）=1/2
この直角三角形を原点の回りにπ/2回転させると、辺OHがy軸と重なります。
このとき、点A（1，√3）は点B（-√3，1）に移り、
sin（θ+π/2）=sin（π/3+π/2）=sin（5π/6）=1/2=cos（π/3）になります。
このように考える直角三角形が全ての象限に存在するとき、同様に成り立ちます。