数学的帰納法の問題です

nが自然数の時、2^(2n+2)+6n+5が9の倍数であることを示せ。

よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• n=1を置き成立、n=kを置き成立を仮定する所まで解けました。n=k+1と置いたときにどう変形して証明に結びつければ良いのか困っています。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/01/28 16:48

No.2 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/01/28 17:54

方向性はいくつかありそうなんだけど, 数学的帰納法を使うことを前提にするならとりあえず

n=k の場合と比較する
のが自然かな. 今の場合
・n=k で 2^(2k+2)+6k+5 が 9の倍数
と仮定して
・n=k+1 のとき 2^(2(k+1)+2)+6(k+1)+5 = 2^(2k+4) + 6k + 11 が 9の倍数
であるといいたいわけだから, この差を取って
[2^(2k+4) + 6k + 11] - [2^(2k+2) + 6k + 5] = 2^(2k+4)-2^(2k+2) + 6 が 9の倍数
であればいいわけだね. で
2^(2k+4) = 4・2^(2k+2)
だから (邪魔な定数 6 を消しつつ) 結局
3・2^(2k+2) を 9 で割ると 3 余る
といえればいい.

これはできる?

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/01/28 16:36

どこまでできてどこで困っているのでしょうか?