高速フーリエ変換に公式みたいなものはありますか?
いろいろな本を見たのですが、「例えば8点では・・・」というように
具体的なやり方は書いてあるのですが、公式がいまいち分かりません。
もし公式があるのならば教えてください。お願いします。

A 回答 (2件)

「バタフライ演算」ででも検索かけてみてください。

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http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=67469
と参考URLをご覧下さい.
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このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q平泳ぎ専門と言うより平泳ぎしか出来ないマスターズスイマーです。マスター

平泳ぎ専門と言うより平泳ぎしか出来ないマスターズスイマーです。マスターズのバタフライでは平泳ぎの足も認められているようですがスタートやターン後の水没15m以内での手及び足のルールについてお教え下さい。
例えば手は一応前に伸ばしたままと思いますが足の方はカエル足で1回または複数回(潜水泳法)出来るのか駄目なら膝・足首を閉じた連続のウイップキック等々のドルフィンに変わる方法が許されるかルール解説書等でも解りませんのでよろしくお願いします。高齢のためお返事が遅くなりますが悪しからず。

Aベストアンサー

No1です。
大変遅くなりまして申し訳ありません。

某マスターズ協会主催大会のQ&Aコーナーで聞いてきました。

スタート・ターン後ですが、キックはカエル足は可とのことです。
左右対照で同じ動作であれば問題なしで、脚の高さが多少ずれていても同時に同じ動きであればよいとのことでした。


回数ですが、質問受けた方がお答えしてくださった回答は「1回」のみとのことでした。
1回じゃ浮き上がれなくないですか?と質問を返したところ、ドルフィンが基本だからねえと言葉を濁されていたような‥

ネットでは規則集全文載っているところがないので、協会の方を疑うわけではないのですが本当に1回と明記されているのか確認できませんでした。

お役に立てずに申し訳ありません。

Qフーリエ変換と高速フーリエ変換

フーリエ変換を高速で行えるFFT(高速フーリエ変換)というのがありますが、
具体的にどういうものなのでしょうか?何故に速くなるのですか?ちなみにフーリエ変換は理解しています。

Aベストアンサー

siegmund です.

質問をよく見ましたら,
「何故に速くなるのですか?」もありましたね.
ちょっと早合点しちゃいました.

m=0 から m=N-1 までのN個のmの値に対して f(m) が与えられたとして
(前の回答ではxと書きましたが,離散的なのでmにしました)
離散フーリエ変換は
(1)  F(k) = Σ(m=0~N-1) f(m) W^(km)
です.ただし,W = exp(2πi/N) です.
(1)のままやると,N^2 回の乗算が必要です.

ところが,N = N1×N2 と因数分解できるとき
(3)  φ(k1,m2) = W^(k1m2) Σ(m1=0~N1-1) f(N2m1+m2) W^(N2k1m1)
(4)  F(k1+N1k2) = Σ(m2=0~N2-1) φ(k1,m2) W^(N1k2m2)
と分解できます.
ただし,
(5)  k1=0,1,・・・,N1-1
(6)  m2=0,1,・・・,N2-1
(7)  k2=0,1,・・・,N2-1
です.
(3)の乗算は N1×N2 回
(4)はこの各々に対して N2 回ですから,全体で N1(N2)^2 回の乗算で,
もとの N^2 = N1^2×N2^2 回の乗算に対して 1/N1 になりました.

ametsuchi さんご紹介のHPの「1.2.1 基本的な考え方」では,
この分解が N=2×(N/2) になっている場合が例示されています.

細かいテクニックは色々あるようですが,
私はそちらの専門家ではないので詳細をつっこまれるとボロが出ます.
演算量が減る原理ということで,お答えしました.
式が書きにくいんで,ミスプリが心配です.

siegmund です.

質問をよく見ましたら,
「何故に速くなるのですか?」もありましたね.
ちょっと早合点しちゃいました.

m=0 から m=N-1 までのN個のmの値に対して f(m) が与えられたとして
(前の回答ではxと書きましたが,離散的なのでmにしました)
離散フーリエ変換は
(1)  F(k) = Σ(m=0~N-1) f(m) W^(km)
です.ただし,W = exp(2πi/N) です.
(1)のままやると,N^2 回の乗算が必要です.

ところが,N = N1×N2 と因数分解できるとき
(3)  φ(k1,m2) = W^(k1m2) Σ(m1=0~N1-1) f(N2m...続きを読む

Q○○が出来ないからといって、△△も出来ない・・・

批判しているわけではありませんが、語弊があり気分を害される方がいまいしたら申し訳ありません。

質問内容は、
仕事でも私生活でも両方なんですが、
ある人が、○○が出来ないからといって、△△も出来ない。
また、□□が出来ないから◎◎も出来ないだろうな。何かが出来ないから、ジャンルは違っても同等レベルのものは出来ない。
という考えは違うのではないかと思っていました。
人には、『得意・不得意』や『向き・不向き』があると思います。
だから何かが出来ないからと言って、他の事も出来ないとは言い切れないと思っていました。
 仕事でも、例えばエクセルをやらせてみたが出来なかった。今時エクセルも出来ないのかと思ったが、
電卓を使って伝票処理をやらせたら、他の人より早く仕事が出来た。間違いもなかった。

例えば挨拶でも、あの人は挨拶が出来ない・声が小さいからといって、
きっと仕事もしっかりと出来ないんだろうなとは思いませんでした。
挨拶はしっかり出来ないかもしれないけど、挨拶と仕事は別で、仕事はキッチリとやると思っていました。

仕事で使うカタログや書類の片付け・本棚に戻す際に、綺麗に戻さない人も、
それは雑かもしれないが、仕事はキッチリやる、挨拶は出来る、と思っていました。

要するに、何か一つがダメだからといって、その人のあらゆる面でのレベルがそれと同等とは思わなかったのです。
先程も言いましたが、人には『得意・不得意』や『向き・不向き』があると思っていたからです。

彼は、この仕事は今一だけど、これをやらせたら他の人より優れている。
『得意・不得意』や『向き・不向き』があり、
この仕事がこのレベルだから、他のものも同等レベルの事しか出来ない。とは思っていませんでした。

もう何が言いたいかお分かりですよね。

しかし、いざ自分の周りの人を見ていると、○○が出来ない人は何をやらせても、それ相応の事しか出来ないのです。
挨拶が出来ない人は、身だしなみもだらしなく、仕事も適当です。
大体のことが当てはまります。
逆に、小さいことでもしっかりやる人は、何をやらせてもそれ相応な結果を出します。

これって皆さんも感じませんか?
それとも僕だけでしょうか?
皆さんの周りではどうですか?
宜しくお願いします。

批判しているわけではありませんが、語弊があり気分を害される方がいまいしたら申し訳ありません。

質問内容は、
仕事でも私生活でも両方なんですが、
ある人が、○○が出来ないからといって、△△も出来ない。
また、□□が出来ないから◎◎も出来ないだろうな。何かが出来ないから、ジャンルは違っても同等レベルのものは出来ない。
という考えは違うのではないかと思っていました。
人には、『得意・不得意』や『向き・不向き』があると思います。
だから何かが出来ないからと言って、他の事も出来ないとは言...続きを読む

Aベストアンサー

まず挨拶が出来ない人の多くはよほど専門的な仕事以外は出来ないことが多いです。
これは挨拶というのは技術とか知識が関係ないことだからです。
単純に自分がすると決めれば出来ること。
しかも多くの場面では挨拶が大事だといわれているのに社会人にまでなって出来ないという事は、人からのアドバイスも聞かなければ、人間関係も大事にしないし、やる気もない人間である可能性が圧倒的に高いからです。
ごく一部にある特定の技術や知識だけ他の人を圧倒するくらいのレベルがあってその仕事だけはずば抜けて出きるという人がいます。
そういう人は挨拶は出来ないけど仕事が出きるという見方で無く、その仕事しか出来ないという見方をされるようになります。

これが大きな声で挨拶が出来ないけど挨拶はちゃんとしているというのなら、性格などの影響もあるでしょう。

知識や技術に関することだとこれは出来ないがこれは出来る。ということはよくあります。
エクセルだって今まで一切使うことがない仕事だったら出来なくてもおかしくないです。
こういう技術や技能、知識と挨拶のようなことを同レベルで見るのがおかしいですよ。

まず挨拶が出来ない人の多くはよほど専門的な仕事以外は出来ないことが多いです。
これは挨拶というのは技術とか知識が関係ないことだからです。
単純に自分がすると決めれば出来ること。
しかも多くの場面では挨拶が大事だといわれているのに社会人にまでなって出来ないという事は、人からのアドバイスも聞かなければ、人間関係も大事にしないし、やる気もない人間である可能性が圧倒的に高いからです。
ごく一部にある特定の技術や知識だけ他の人を圧倒するくらいのレベルがあってその仕事だけはずば抜けて...続きを読む

Qフーリエ変換について質問です フーリエ変換(3.1)から逆フーリエ変換(3.3)を導く方法を教えてく

フーリエ変換について質問です

フーリエ変換(3.1)から逆フーリエ変換(3.3)を導く方法を教えてください

フーリエ変換
F(ω)=∮(-∞→∞)f(t) e^(-jωt) dt (3.1)

逆フーリエ変換
f(t)=∮(-∞→∞)1/2π F(ω) e^(jωt) dω (3.3)

Aベストアンサー

いきなり(3.1)から(3.3)を導くのは難しいため、複素フーリエ級数から始めるとよいと思います。

その方式で説明しているサイトがあったのそちらを見た方が早いと思います。
http://eman-physics.net/math/fourier05.html

Q彼氏が出来ない理由

彼氏が出来ない事について悩んでいます。


私は、31才・女性・独身・彼氏いない歴22年と3ヶ月です。



彼氏が出来ない理由を最近知ったのですが、オトメスゴレンという恋愛サイトで彼氏が出来ない理由のうちの1つに、好きな俳優やキャラクターを聞いてはしゃいでる女性は彼氏が一生出来ないというアンケートがありました。
実際、彼氏が出来ない理由のうちの1つに、好きな俳優やキャラクターと聞いてはしゃいでる女性は一生彼氏が出来ないのでしょうか?
とても困っています。

Aベストアンサー

たまにそのサイトの記事を見ることがありますが
あまり信憑性ないと思います。
どういうターゲットでアンケートとってるのかわかりませんが
かなりな偏りがあるような。

一生彼ができないと自分で決めてしまったらできません。
できると思って活動すればできます。
ただ維持するのは労力がいります。
都合のいい二次元の男性ではないので。
相手にも都合があります。
数字で判断されることが多い場所に行けば
30超えてるというだけで敬遠されることもあります。

思い立ったときが動くときです。
出会いを求めて動いてください。

Qフーリエ変換の公式が解りません

最近学校で習ったフーリエ変換の公式の中に、
『f(ax)→F(u/a)/|a|』と言うものがあるのですが、
これの解き方が解りません。
既に投稿された質問の方も覗いてみたのですが、
何がどうなって結果に行き着くのか、細かい部分も知りたいです。
どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

 単なる変数変換(置換積分)の話です。

F(u) = ∫f(t) g(tu) dt (積分はt =-∞からt=∞までの定積分)
という式(フーリエ変換の場合ならg(y) = exp(-iy)ですが、それに限らず、この式)に
t = ax
F(u) = ∫f(ax) g(axu) a dx (積分はax=-∞からax=∞まで)
さらに
u = v/a
を代入して、
F(v/a) = ∫f(ax) g(xv) a dx (積分はax=-∞からax=∞まで)

さてこのとき、axじゃなくてxについて積分範囲を書くとどうなるか。もちろん、
a>0であれば、x=-∞からx=∞まで、ってことですが、
a<0であれば、x=∞からx=-∞まで、になります。
だから、
(1) a>0のときはF(v/a) = a ∫f(ax) g(xv) dx (積分はx=-∞からx=∞まで)
(2) a<0のときはF(v/a) = a ∫f(ax) g(vx) dx (積分はx=∞からx=-∞まで)
= - a ∫f(ax) g(xv) dx (積分はx=-∞からx=∞まで)

両方合わせればつまり
a≠0ならば F(v/a) = |a| ∫f(ax) g(xv) dx (積分はx=-∞からx=∞まで)

ということになります。おしまい。

つまり、フーリエ変換とは関係なし。(だから「フーリエ変換の公式」として憶えるべきものかどうかは疑問です。)

 単なる変数変換(置換積分)の話です。

F(u) = ∫f(t) g(tu) dt (積分はt =-∞からt=∞までの定積分)
という式(フーリエ変換の場合ならg(y) = exp(-iy)ですが、それに限らず、この式)に
t = ax
F(u) = ∫f(ax) g(axu) a dx (積分はax=-∞からax=∞まで)
さらに
u = v/a
を代入して、
F(v/a) = ∫f(ax) g(xv) a dx (積分はax=-∞からax=∞まで)

さてこのとき、axじゃなくてxについて積分範囲を書くとどうなるか。もちろん、
a>0であれば、x=-∞からx=∞まで、ってことですが、
a<0であれば、x=∞から...続きを読む

Q一生彼女が出来ない証明

僕が一生彼女が出来ないことor結婚が出来ないことを
数学的帰納法で証明って出来ますか?
または他の方法を用いて証明が出来るなら教えて欲しいです。
因みに18歳未だに彼女出来たことないです。

Aベストアンサー

1.数学的帰納法での証明
現在貴方が18歳で、彼女がいらっしゃらないので、
P(1)は証明されてます。
次にn年後彼女がいないと仮定して、n+1年後に彼女がいないとは、言えないので、即ち

P(1) が成立することを示し、次に P(n) が成立すれば P(n+1) が成立するに反するので。
貴方には必ず彼女ができます。
結婚についても同様です。

2.否定法での証明
命題Pが「僕が一生彼女が出来ないこと」なので、Pの否定は「今彼女がいる」です。
Pの否定は、偽であるので、命題Pは真であるので、残念ながら、貴方には一生彼女が出来ないと証明できました。

その他、対偶法、背理法、否定などの証明方法はありますが、「命題 P⇒Q」など、命題が2個必要なので、証明できないと、思います。

結果、1と2で答えが違うので、僕の知識では解明出来ませんでしたが、一般論を言うと、彼女ができないと思い込んでいると、彼女が出来ない確率は上がると思います。
この場合、証明問題より確率論が向いてるかもしれません。

実は僕は独身ですが、自分は結婚できないと思っています(年齢46歳男子)。多分、僕は結婚出来ない、いやしないでしょう。

貴方に結婚願望があるのならば、まず、彼女を出来るように、自分造りをしましょう。
そして、自分に自身がついてくると、自然と女性が、引き寄せられるものです。

答えになっていなかったら、悪しからずm(_ _)m

1.数学的帰納法での証明
現在貴方が18歳で、彼女がいらっしゃらないので、
P(1)は証明されてます。
次にn年後彼女がいないと仮定して、n+1年後に彼女がいないとは、言えないので、即ち

P(1) が成立することを示し、次に P(n) が成立すれば P(n+1) が成立するに反するので。
貴方には必ず彼女ができます。
結婚についても同様です。

2.否定法での証明
命題Pが「僕が一生彼女が出来ないこと」なので、Pの否定は「今彼女がいる」です。
Pの否定は、偽であるので、命題Pは真であるので、残念ながら、...続きを読む

Q離散フーリエ変換(DFT)の公式について

離散フーリエ変換の公式は、参考書等によりますと色々な記述があります。
今回は2例の違いを教えていただきたいのです。

1)F(u)=1/NΣf(x)・・・・
2)F(u)=Σf(x)・・・・

との式があります(両式とも詳細は省いて記述しました)。この規格化定数(1/N)がある公式1)と、ない公式2)があります。
本来の周波数スペクトル(振幅)を表しているのは1)式であると考えていますが
いかがでしょうか?

公式2)を使用して算出した場合には、その値をサンプリング数で除すれば公式1)同じ結果となるのですが、なぜ公式2)が記述してあるのでしょうか?

Aベストアンサー

戻って来ました。
No.7の補足に対してです。
答は、「そのとおり」です。(^^)

蛇足になりますが、この時の1/Nは形式的には
サンプル数で割っていますが、考えるときは、
F[0]=1が周波数内にしめる割合が1/8と考える方が
分かり易いかもしれません。

何度も書くようですが、周波数が標本化周波数
(標本化間隔の逆数)の1/2を超えるときは注意しましょう。
例の場合、周波数7/8は-1/8と同様に表せるだけでなく
15/8, 23/8,… ,-9/8,-17/8…
としても同様に表せます。
この任意に表せる周波数の内どれが一番妥当かも考えてみましょう。
(参考) 折り返し雑音、エイリアシング(aliasing)

以上です。

Q先天性彼女出来ない遺伝子。

先天性彼女出来ない遺伝子DNAを持ってしまっている男性は存在すると思いますか?

どうやっても彼女が出来ない男性はいると思います。
どうやっても彼女が出来ない容姿見た目というのもあると思います。
清潔にしていて顔やスタイルも普通なのに何故か女性に好かれないという感じ。
女性が惚れることが出来ない顔やスタイルはありますよね?

Aベストアンサー

99%のヒトゲノムが読解されてますが
そんな遺伝子はない

万人が同じ趣味ではないし
貴方が人間として間違った外見でない限り
貴方のような外見が好きな人も居ます

まさかキメラみたいに首二つとか
腕が千本あるとか
ケンタウロスみたいに下半身馬とかじゃないですよね

じゃあ、大丈夫ですよ
貴方は未だ出会えてないんでしょうね

Qフーリエの積分公式の導出中に納得いかない部分が…

今年初めて大学でフーリエ変換を習ったんですが、フーリエの積分公式の導出中にどうしても納得いかない部分があったので質問させて頂きます。

まず、複素フーリエ級数の導出に関して。

周期T=2Lの周期関数f(x)に対して、
f(x)の複素フーリエ級数は、
f(x)=Σ<n=-∞...∞>{ C[n]exp(inπx/L) }・・・(1)

複素フーリエ係数は、
C[n]=1/2L*∫<-L...L>{ f(x)exp(-inπx/L) }dx・・・(2)

ここまではOKです。

さて、次にフーリエ変換の導出になった時に、式(2)の形が
C[n]=1/2L*∫<-L...L>{ f(y)exp(-inπy/L) }dy・・・(3)
となっていたのです。
おわかりでしょうか?xがyに変わっています。

この式(3)を式(1)に代入すると、
f(x)=Σ<n=-∞...∞>{ 1/2L*∫<-L...L>{ f(y)exp(-inπy/L) }dy }

ω[n]=nπ/L
Δω=π/L
と置いて、

f(x)=Σ<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-L...L>{ f(y)exp(-iω[n]y)dy }exp(iω[n]x)Δω }

ここでL→∞の極限を考えると、
f(x)=1/2π*∫<-∞...∞>dω∫<-∞...∞>{ f(y)exp(-iω(y-x)) }dy
となる。

ここで、最後にyが残ってくるのがどうしても腑に落ちません。
元々fとC[n]は同じ変数の関数のはずでは?
いつの間にかyの関数に変わっている上に、yとは何なのか一切説明がありません。
定積分ですから変数に何を持ってこようが答えは同じ定数になるとは思うんですが、教科書を見てもyに関して全く断りなく使ってますし、ある程度Webで検索してみてもyに関する記述がある資料は見つかりませんでした。
しかも教科書のその後の演習では普通にf(y)にxを入れて解いてるし…。
一体このyはどこから現れたのでしょうか?何の意味があるんでしょうか?置き換えなきゃいけないんでしょうか?

先生に聞こうにも非常勤のため普段は大学にいないんです。
というより明日がテストなので…。
というわけでお分かりになる方、なるべく早急に回答をお願いします!

今年初めて大学でフーリエ変換を習ったんですが、フーリエの積分公式の導出中にどうしても納得いかない部分があったので質問させて頂きます。

まず、複素フーリエ級数の導出に関して。

周期T=2Lの周期関数f(x)に対して、
f(x)の複素フーリエ級数は、
f(x)=Σ<n=-∞...∞>{ C[n]exp(inπx/L) }・・・(1)

複素フーリエ係数は、
C[n]=1/2L*∫<-L...L>{ f(x)exp(-inπx/L) }dx・・・(2)

ここまではOKです。

さて、次にフーリエ変換の導出になった時に、式(2)の形が
C[n]=1/2L*∫<-L...L>{ f(y)exp(-inπy...続きを読む

Aベストアンサー

まだ起きてるかなぁ・・・とりあえず、書いてみます。

いいえ、y=xではありません。変数を置き換えるというより、単に使う文字を入れ換えたということです。言葉で言うのは、難しいので、数式を見てください。

まず、次の式は、わかりますよね。xを0~1で積分します。
∫<0...1> x dx = <0..1>[1/2*(x^2)] = 1/2 -0 =1/2
ここで、今、積分に使っている文字は「たまたま」xでした。別に、このxを、yにしようがtにしようがsにしようが、定積分の結果は1/2であるということがわかりますか?
∫<0...1> x dx = <0..1>[1/2*(x^2)] = 1/2 -0 =1/2
∫<0...1> y dy = <0..1>[1/2*(y^2)] = 1/2 -0 =1/2
∫<0...1> t dt = <0..1>[1/2*(t^2)] = 1/2 -0 =1/2
∫<0...1> s ds = <0..1>[1/2*(s^2)] = 1/2 -0 =1/2

したがって、
∫<0...1> x dx=∫<0...1> y dy=∫<0...1> t dt
=∫<0...1> s ds = 1/2
です。
どの文字を定積分に使うかは、一切関係ないのです。極端な話ひらがなだろうと、漢字だろうと、定積分の文字は、なんだっていいのです。
∫<0...1> あ dあ=∫<0...1> い dい=1/2

ここまで読んだところで、次の式を見てください。

C[n]=1/2L*∫<-L...L>{ f(y)exp(-inπy/L) }dy
=1/2L*∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L) }dt
=1/2L*∫<-L...L>{ f(s)exp(-inπs/L) }ds
=1/2L*∫<-L...L>{ f(a)exp(-inπa/L) }da
=1/2L*∫<-L...L>{ f(w)exp(-inπw/L) }dw

C[n]は、定数なので、同様に、文字はなんでもいいんです。

途中でリーマン積分の定義を使うのは、わかります。無限和を積分に置き換えるためですね。でも、それは関係ありません。
次の式を見てください。上のC[n]を、そのまま、代入しただけです。次の式が成り立つことがわかりますか?

f(x)
=Σ<n=-∞...∞>{ (1/2L*∫<-L...L>{ f(y)exp(-inπy/L) }dy) exp(inπx/L)}
=Σ<n=-∞...∞>{ (1/2L*∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L) }dt) exp(inπx/L)}
=Σ<n=-∞...∞>{ (1/2L*∫<-L...L>{ f(a)exp(-inπa/L) }da) exp(inπx/L)}
=Σ<n=-∞...∞>{ (1/2L*∫<-L...L>{ f(s)exp(-inπs/L) }ds) exp(inπx/L)}
=Σ<n=-∞...∞>{ (1/2L*∫<-L...L>{ f(w)exp(-inπw/L) }dw) exp(inπx/L)}

繰り返しますが、定積分に使う文字は、なんでもいいのです。

さて、次の式がわかりますか?
(∫<0...1> t dt)*p
=∫<0...1> pt dt
=p ∫<0...1> t dt
=1/2p
一番最初の式を、定積分に使われている文字tとは関係ない文字pを使って、p倍しただけです。定積分に使われている文字とは、dtとかdyのように、dの後に続く文字です。この文字以外の文字が掛かっている時は、積分に関係ないので、定数扱いして、積分の外だろうが前だろうが後ろだろうが、どこにでも、好きなところに掛けることができるのです。
今、
f(x)=Σ<n=-∞...∞>{ (1/2L*∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L) }dt) exp(inπx/L)}
で、定積分に使われている文字はなんですか?
tであるということが、わかりますか?式中の
∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L) }dt
の部分のdの後の文字がtだからです。すると、t以外の文字は、上記と同じ理由で、定積分の中だろうが、前だろうが後ろだろうが、どこにでもかけられます。そこで、
(∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L) }dt) * exp(inπx/L)
=exp(inπx/L) ∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L) }dt
=∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L)exp(inπx/L) }dt
が成り立つことがわかりますか?

さて、exp(t)=e^tですから、exp(t)*exp(s)=(e^t)*(e^s)=e^(t+s)=exp(t+s)ですね。
したがって、
∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L)exp(inπx/L) }dt
=∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L+inπx/L) }dt
=∫<-L...L>{ f(t)exp(inπ(x-t)/L) }dt
になることがわかりますか?
したがって、
f(x)=Σ<n=-∞...∞>{ (1/2L*∫<-L...L>{ f(t)exp(-inπt/L) }dt) exp(inπx/L)}
=Σ<n=-∞...∞>{ (1/2L*∫<-L...L>{ f(t)exp(inπ(x-t)/L) }dt}

となります。ここで、
ω[n]=nπ/L
Δω=π/L
とおけば、定積分に使う文字は何でもいいことに注意すれば、
f(x)
=Σ<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-L...L>{ f(t)exp(-iω[n]t)dt }exp(iω[n]x)Δω }
=Σ<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-L...L>{ f(y)exp(-iω[n]y)dy }exp(iω[n]x)Δω }
=Σ<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-L...L>{ f(a)exp(-iω[n]a)da }exp(iω[n]x)Δω }
であることがわかりますか?しつこいですが、定積分に使う文字は何でもいいんです。L→∞の極限を取ると、
f(x)
=∫<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iωt)dt }exp(iωx)dω }
になります。注意してください!定積分dωが一個増えました。これも、例によって、文字はなんでもよいので、
f(x)
=∫<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iωt)dt }exp(iωx)dω }
=∫<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iut)dt }exp(iux)du }
=∫<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-ivt)dt }exp(ivx)dv }
=∫<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-ist)dt }exp(isx)ds }
です。
さて、
f(x)
=∫<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iωt)dt }exp(iωx)dω }
の、
(∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iωt)dt) exp(iωx)
を見てみましょう。定積分に使われている文字は、tなので(dtだから)、exp(iωx)には、文字tが含まれていないので、中に入れてしまえます。
(∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iωt)dt) exp(iωx)
=∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iωt) exp(iωx) dt }
先ほどと同様に、exp(t)*exp(s)=exp(t+s)ですから、
∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iωt) exp(iωx) dt }
=∫<-∞...∞>{ f(t)exp(iω(x-t)) dt }
です。これを、代入すれば、
f(x)
=∫<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iωt)dt }exp(iωx)dω }
=∫<-∞...∞>{ 1/2π*∫<-∞...∞>{ f(t)exp(iω(x-t)) dt }dω }
=1/2π*∫<-∞...∞>dω ∫<-∞...∞>{ f(t)exp(-iω(t-x)) }dt
=1/2π*∫<-∞...∞>dω ∫<-∞...∞>{ f(y)exp(-iω(y-x)) }dy
=1/2π*∫<-∞...∞>dω ∫<-∞...∞>{ f(s)exp(-iω(s-x)) }ds
です。しつこいですが、定積分に使う文字は、何でもいいんです。

まだ起きてるかなぁ・・・とりあえず、書いてみます。

いいえ、y=xではありません。変数を置き換えるというより、単に使う文字を入れ換えたということです。言葉で言うのは、難しいので、数式を見てください。

まず、次の式は、わかりますよね。xを0~1で積分します。
∫<0...1> x dx = <0..1>[1/2*(x^2)] = 1/2 -0 =1/2
ここで、今、積分に使っている文字は「たまたま」xでした。別に、このxを、yにしようがtにしようがsにしようが、定積分の結果は1/2であるということがわかりますか?
∫<0...1> x dx = <...続きを読む


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