数学の質問です。

数学のことなんですが。
０．９９９９９・・・＝１を証明する方法で、
１/3=1÷３＝０．３３３３３・・・
１/3×３＝０．３３３３・・・×３
１＝０．９９９９・・・・があります。
でも、よく考えると、
０．３＝３/10 　　 0.33=3/100　　 0.333=3/1000 とすると
０.3333・・・・＝3333・・・・/10000・・・・のはず。
すると
3333・・・/10000・・・＝1/3
とすると
3333・・・/10000・・・＝3333・・・/9999・・・・
となり、
１0000・・・・・＝9999・・・・
を使っています。
これって
0.9999・・・＝１
を証明するときに使っていいのでしょうか？
定理を証明するのに定理を使っているような気がするのですが
誰か教えてください。

No.4 回答者： itshowsun 回答日時： 2015/02/15 11:35

実数の小数表記における「・・・」の使用については注意が必要です。

例えば、
1/3 = 0.333・・・
と
π = 3.14・・・
の「・・・」は意味が異なります。
もちろん、前者は循環小数であり、「3」が繰り返されます。すなわち、
この表記によって1/3 が循環小数で一意に定義されています。
一方、後者の「・・・」では次に数字に何が来るか分かりません。すなわち、
πは無理数です。
この点を踏まえた上で質問に戻ります。
証明するとは、ある定理をその領域における定義を使って構成することです。
今、証明する定理は、領域「循環小数」であり、その使うべき定義は
1/3 = 0.333・・・
です。循環小数を学んだ時、この式がまず最初に出てきたはずです。
これは、実際には定義というよりは、
実数の循環小数表記の規則を教えるための範例ですが、定義といってよいでしょう。

No.3 回答者： tkia14 回答日時： 2015/02/10 00:35

僕以外の方はそごく本質をついておられますが、簡単にいいますと。

0.99999………
をXとおきます。

X＝0.99999…
10X＝9.999999…
→9X＝9
X＝1
という結果になります。ただこれはあくまでも限りなく小さい小数を考えていないことになります。ですから、本質の意味ではXを1であるということを証明できないのです。

No.2 回答者： funoe 回答日時： 2015/02/08 22:47

この質問は何度もくりかえされ、さまざまな説明が行われますがどの解説が「質問者の腑に落ちる」のかは、いろいろです。

万人が納得する回答は難しいのです。
結局、質問者の「数学レベル」次第で、解説に納得できるかどうかが左右されるんです。


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前置き１）
0.9999・・・・を「なにか、動き続ける数」だと考えているのでしたらそもそもそれが間違いです。
言い換えれば、これが「なにかに近づき続ける云々」という解説があったら、それは「数学的には誤った回答」です。

前置き２）
0.9999・・・という表現が「数」なのではなく、「ある数を表すひとつの表現」であることを理解願います。
稀に、「0.9999・・・」と「1」は、表現が違う以上異なるものであるなどというトンデモ解説がありますが、まどわされてはいけません。
ありがちなのは、「整数部が0である以上、これは1未満のなにかである」とマコトシヤカに主張するものです。
表現は異なりますが「1」も「3/3」も「3-2」も「5^0」も「lim(x→0)cos(x)」も、どれも「同じ数」を示す表現です。
繰り返しますが、0.9999・・・・は、「ある数があって」「その数を示す表現」であるということです。

前置き３）
0.9999・・・・がある数を表す表現である以上、その表現の意味が万人に共有されている必要があります。
実は、ここが最大のポイントなのですが、数学教育の過程において
「0.9999・・・・」という表現が中学数学で出現（循環小数の表記）するにも関わらず、
その意味をおおよそ正しく与えるのは高校数学で極限を学習するとき、
厳密に意味を定めるのが大学数学(ε-δとかε-Ｎと呼ばれる論法にて）ということです。
この「0.9999・・・・」の表現の意味は、その各人の学習レベルによって大きく異なるため、
この質問が何度も繰り返されるのです。
高校を卒業していても、極限を正しく理解している者は少ないのが実情。理解レベルはさまざまです。


本題）
高校数学に即して表現すると、極限ってのは、
ある数列が「ある数」に限りなく近づくとき、その「限りなく近づく先の数」をその数列の極限と呼ぶことにする、
というものです。
動き続け、近づき続けるのは「数列」で、その近づく先（＝目標地点）となるのが「極限値」です。

今回の0.9999・・・・の場合は、
0.９、0.99、0.999、0.9999、0.99999、0.999999、・・・という数列を考え、
この数列の極限値があれば、その値を「0.99999・・・・・」と表現しよう、ってのが高校数学に即した定義です。

高校数学では、「この数列が近づく先は、１だよね」「だって、数列の各項はどんどん１に近づくじゃん」ということで、「極限値＝１」を導いています。
もちろん、厳密な極限（収束）の定義に従っても、この数列は極限値を持ち（＝収束し）、その値は「１」です。
おそらく質問者はε-Ｎ論法なんて興味ないでしょうから、それによる証明は避けますが、
大学数学では、「収束すること」の定義を厳密に定め、その定義に基づいて数列の収束するかどうかや収束する値（極限値）を証明できます。

もし仮に興味があったら「イプシロン-デルタ論法」をwikiで確認してみて下さい。

蛇足）
0.9999・・・・の意味するところが不明確のまま、それを用いた演算（掛け算とか割り算）をすることの無意味さをわかってください。
同じく、0.33333・・・・の意味するところ、理解するところが各人によってバラついているのです。
0.33333・・・・の意味が不明確のママ、
「0.3333・・・・」って、2倍すれば「0.66666・・・・」だし、3倍すれば「0.9999・・・」なるじゃん、
という、形式的かつ直感的な操作は「ロクに理解できてもいない文字列をもてあそんでいるだけ」なんです。

No.1 回答者： papabeatles 回答日時： 2015/02/08 20:06

　０．９９９９９９９９と１は同じではありません。

無限に１に近づく数列があってその極限値を１と表しているのです。
　良い例がπ（パイ）です。誰もπの極限値を知りません。しかし我々はその分からない数をπと表しています。１も２もそのような数なのです。