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掲題の解釈は以下でいいですか。

範囲が1から2の時、
|f(1)-f(2)| <= K|1 - 2|
なる定数Kがある?

|f(1)-f(2)| = |1 - 4| = 3
|1 - 2| = 1
よって、「3 <= KなるKがある?」 それは3。よって連続関数

これは、その範囲で傾き3から-3の直線の範囲に、その曲線(の接線)が必ず収まっているという事と同じ意味
これは連続であることの十分条件


返答があるのは嬉しいのですが、質問者の理解程度を考慮しない高尚な解説はご遠慮下さい。

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A 回答 (1件)

「リプシッツ連続」の重要な条件をわすれています.



定義された区間内の,「あらゆるx, y」に対して
   |f(x) - f(y)| < K|x - y|
となる定数Kがある.

下記ウィキペディアの(定義は無視して)例が分かり易いと思います.
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97% …

例えば,f(x)=√x (ルートx) は 区間[0,1]で通常の意味で連続ですが,
リプシッツ連続ではありません.

グラフを描くと分かり易いと思いますが,
x=0 に近づくとは傾きは∞になりますので,
    |f(0) - f(y)| < K|0 - y|
つまり,
    |f(0) - f(y)|/ |0 - y| < K
の式で,yをどんどん0に近い値に近づけると左辺がどんどん大きくなるので,
定数Kでは押さえられません.
    • good
    • 0
この回答へのお礼

返答ありがとうございます

その例が、分り易かったです

今後もおねがいします

お礼日時:2015/03/13 22:48

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f(x)=∫_0^x h(t) dt

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
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例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

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これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
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ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
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という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
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このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



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陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか?
(漠然とした質問で申し訳ありません)
___________________________________
 陰関数の定理:
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし,
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする.
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ1つ存在する:
b = φ(a),
f(x, φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -{fx(x, φ(x))}/{fy(x, φ(x)}
が成立する.
___________________________________

Aベストアンサー

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか?

f(x,y)というのは,R^2上の関数fの点(x,y)での値です.
したがって,z=f(x,y) と考えれば,これは
確かにR^3での「グラフ」になります.
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って,f(x,y)=0 というのは,
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これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが,
f(x,y)=0も「解」(の集合)とみなせばいよいだけです.

また,偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます.

陰関数の定理というのは,
陰関数f(x,y)=0を,y=φ(x)という形で表現できる
ということを(特定の条件下で)保証する定理で
実際は,いろいろな理論の根底で使われます.

とりあえず,もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください.
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります.

>f(x,y)=0はそもそもxy平面上でのことで、3次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか?
>fy(a, b)は3次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、2次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか?
f'(a)は2次元的に...続きを読む

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

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Q高校数学言葉の意味(有界)

wikiで調べたのですが、有界の意味が捉えられません。
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今まで積分可能な関数ばかり取り上げてきた。実際受験生が目にする関数は連続であるか、区分的に連続だから、ほとんどすべての関数が積分可能になる。しかし、このままでは、何でも積分出来ると思われては困るので、有界なのに積分不可能な関数をあげておく。(例)0≦x≦1で次のように定義される関数がある
f(x)=1(xが有理数);0(xが無理数)

Aベストアンサー

上に有界とは関数f(x) がその定義域の中で f(x) <= a となる定数 a が存在すること。
下に有界とは関数f(x) がその定義域の中で f(x) >= b となる定数 b が存在すること。

この場合の有界とは上に有界かつ下に有界、つまり関数の値が取り得る範囲が有限ということですね。


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