【先着1,000名様！】1,000円分をプレゼント！

f(x)=x^2のリプシッツ連続

解決済

  • 質問者：remokon
  • 質問日時：
  • 回答数：1件

掲題の解釈は以下でいいですか。

範囲が1から2の時、
|f(1)-f(2)| <= K|1 - 2|
なる定数Kがある？

|f(1)-f(2)| = |1 - 4| = 3
|1 - 2| = 1
よって、「3 <= KなるKがある？」　それは3。よって連続関数

これは、その範囲で傾き3から-3の直線の範囲に、その曲線（の接線）が必ず収まっているという事と同じ意味
これは連続であることの十分条件


返答があるのは嬉しいのですが、質問者の理解程度を考慮しない高尚な解説はご遠慮下さい。

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

このQ&Aに関連する最新のQ&A

「ルート グラフ」に関するQ&A： 分数の計算やルート、グラフをパソコンで打ちたいのですが、どうすればいいのでしょうか？

A 回答 (1件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： M光國
  • 回答日時：

「リプシッツ連続」の重要な条件をわすれています．



定義された区間内の，「あらゆるx, y」に対して
　　 |f(x) - f(y)| < K|x - y|
となる定数Kがある．

下記ウィキペディアの（定義は無視して）例が分かり易いと思います．
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97% …

例えば，f(x)＝√x　(ルートx)　は 区間［0,1］で通常の意味で連続ですが，
リプシッツ連続ではありません．

グラフを描くと分かり易いと思いますが，
x＝0 に近づくとは傾きは∞になりますので，
　　　 |f(0) - f(y)| < K|0 - y|
つまり，
　　　 |f(0) - f(y)|／ |0 - y| < K
の式で，yをどんどん0に近い値に近づけると左辺がどんどん大きくなるので，
定数Kでは押さえられません．
    • good
    • 0
    • 件
通報する
この回答へのお礼

返答ありがとうございます

その例が、分り易かったです

今後もおねがいします

通報する
お礼日時：2015/03/13 22:48

このQ&Aに関連する人気のQ&A

「ルート グラフ」に関するQ&A： 標準偏差ってなんですか？？

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう！

Q質問する（無料）

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

関連するQ&A

関連するカテゴリからQ&Aを探す

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qリプシッツ連続と一様連続

リプシッツ連続と一様連続が（定義は分かるのですが）違いが良く分かりません。

リプシッツ連続ならば一様連続と本に書いてあったのですが、一様連続んらばリプシッツ連続、は成立しないのでしょうか。

Aベストアンサー

リプシッツ連続はx≠yとして|f(x)-f(y)|/|x-y|≦Lと変形てきます。
y→xのとき、これが何を意味しているかを＃１さんの例の原点で考えれば違いが解るのではないでしょうか。

他の回答も見る

Q微分方程式のリプシッツ連続に関する問題です。

微分方程式におけるリプシッツ連続に関する質問です。
リプシッツ連続な関数で、f(x)=xのような初歩的なものでなく、よりレベルの高い関数ではどのような例がありますか？
できればその証明も教えていただきたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

この性質そのものが書いてる本は限られるかもしれませんが要となる事実は
「絶対連続である関数はある局所可積分関数(locally L^1)の定積分で表される」というものです。
これは実解析と呼ばれる本であれば大抵載っているはずです。
そして、リプシッツ連続性との繋がりですが、まずリプシッツ連続であれば絶対連続であることは定義より明らかですよね？そこで上の定理を使えばあるL^1関数hの定積分になっているわけです。すなわち、


f(x)=∫_0^x h(t) dt

これは言い換えるとリプシッツ連続な関数はほとんどいたるところ微分可能でその導関数はhで、更にリプシッツ連続の条件よりhは有界でなければならず、fは「有界、局所可積分な関数」の定積分で実現されることが分かります。しかしながら、有界であれば局所可積分なので結局単に有界な可測関数の定積分でなければならないことが従います。

他の回答も見る

QC1級関数って何ですか？

級数の勉強をしていると、
” C1級数関数 ”
(※ 1はCの右上の小さい文字。表記できませんでした。)
という用語が出てきたのですが、どういう意味なのかわかりません。
どういう関数なのか教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは．Esnaです．

C1級は，１回微分可能な関数のことです．
Cn級や，C∞級(e^x,sin x など)など微分可能回数によって関数を分類したものです．

他の回答も見る

Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか？
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか？

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの１つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか？



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「３」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。（もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です）
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「（１，１）というベクトルに対するノルムは？」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか？」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
（例：（３，１，５）というベクトルの最大値ノルムは、３つの数字の最大値である５になります）

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
（数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね）
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか？
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
（ちょっと難しいかな？）


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの１つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか？



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

他の回答も見る

Q陰関数の定理がわかりません

陰関数の定理について、
証明はまだ習わないで、定理だけいきなり出てきたのですが、
読んだだけではいまいち意味がつかめませんでした。
この定理が何をいおうとしているかわかり易く
説明していただけないでしょうか？
(漠然とした質問で申し訳ありません）
_______________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　陰関数の定理：
f(x, y) をR2 におけるC1 級関数とし，
点(a, b) において
f(a, b) = 0; fy(a, b) ≠ 0とする．
このときa を含むある小さな開区間I をとれば
I の上で定義されたC1 級関数
y = φ(x) で次の条件を満たすものがただ１つ存在する:
b = φ(a),
f(x,　φ(x)) = 0 (x は 閉区間I内),
さらに
φ’(x) = -｛fx(x,　φ(x))｝/｛fy(x,　φ(x)｝
が成立する．
_____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

Aベストアンサー

とりあえず，もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください．
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります．

>f(x,y)=0はそもそもｘｙ平面上でのことで、３次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか？
>fy(a, b)は３次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、２次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか？
f'(a)は２次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

おっしゃってることが「おかしい」ことがお分かりになりますか？

f(x,y)というのは，R^2上の関数fの点(x,y)での値です．
したがって，z=f(x,y) と考えれば，これは
確かにR^3での「グラフ」になります．
これは y=f(x) が平面のグラフになることと同じです

翻って，f(x,y)=0 というのは，
R^2の点(x,y)でf(x,y)=0となる点（の集合）のことです．
これは f(x)=0 の場合は「解」に相当しますが，
f(x,y)=0も「解」（の集合）とみなせばいよいだけです．

また，偏微分f_y(x,y)も単に点(x,y)での値に過ぎませんので
3次元とか考えずに計算できます．

陰関数の定理というのは，
陰関数f(x,y)=0を，y=φ(x)という形で表現できる
ということを（特定の条件下で）保証する定理で
実際は，いろいろな理論の根底で使われます．

とりあえず，もうちょっと偏微分や関数の勉強を
頑張ってください．
何か根本的な部分を勘違いしている可能性があります．

>f(x,y)=0はそもそもｘｙ平面上でのことで、３次元ではないのに、
>どうやって“fy(a, b)”を考えることができるのでしょうか？
>fy(a, b)は３次元的に考えないと値を出せないと思うのですが、、、

これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、２次元ではないのに、
どうやって“f'(a)”を考えることができるのでしょうか？
f'(a)は２次元的に...続きを読む

他の回答も見る

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x　は、　t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x　を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x　の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

他の回答も見る

Q高校数学言葉の意味（有界）

wikiで調べたのですが、有界の意味が捉えられません。
次の文脈ではどのような意味でつかわれているのか、教えてください。
今まで積分可能な関数ばかり取り上げてきた。実際受験生が目にする関数は連続であるか、区分的に連続だから、ほとんどすべての関数が積分可能になる。しかし、このままでは、何でも積分出来ると思われては困るので、有界なのに積分不可能な関数をあげておく。（例）０≦ｘ≦１で次のように定義される関数がある
ｆ（ｘ）＝１（xが有理数）；０（ｘが無理数）

Aベストアンサー

上に有界とは関数f(x) がその定義域の中で f(x) <= a となる定数 a が存在すること。
下に有界とは関数f(x) がその定義域の中で f(x) >= b となる定数 b が存在すること。

この場合の有界とは上に有界かつ下に有界、つまり関数の値が取り得る範囲が有限ということですね。

他の回答も見る
ページトップページトップ

Q質問する（無料）

このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報