a+b=5,ab=-3のとき、
a^2+ab+b^2の値・・・・・(答えは34)

もうひとつ!(すいません・・)
a+b=4,a^2+b^2=14のとき、
abの値・・・・・(答えは1)

すいません、またまた答えはわかってるんですが、展開の仕方がわからないんです(涙)
宜しくお願いします!!

A 回答 (7件)

a^2+ab+B^2をa+bとabであらわせればいいんですよね??


とすると、
(a+b)^2を計算すると、a^2+b^2+2ab ・・・(1)
与式とおなじになるためには、(1)から、-abをひけばいいんですよね?
すると
a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab
となって、a+b=5、ab=-3を代入すると、
5^2ー(-3)=23
                    (答え)・・・23

2問目もおなじように考えると、
(a+b)^2-2ab=a^2+b^2
となりますよね?
そして、a+b=4,a^2+b^2=14を代入すると
4^2-2ab=14
    2ab=16-14
      =2
     ab=1
                        (答え)・・・1 

これでどうでしょう?ガンバッテください
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a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab  として完全平方の形に直して


a+b=5,ab=-3 をそれぞれ代入して、
予式=5^2-(-3)
=25+3
=28
2問目
やはり完全平方を利用して
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 これに a^2+b^2=14 を代入して  2ab=2
ab=1
となります。  完全平方の形をマスターすれば、色々な場面で応用が効くようになります。頑張って下さい。
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こんにちは!


私なら、問題を見たら、「解と係数の関係」でせめます。

つまり、a+b=5、ab=-3よりa,bは
x^2-5x-3=0の2解である。
よって、
a^2-5a-3=0
b^2-5b-3=0
が成り立つ
この2式をたして、
a^2+b^2-5(a+b)-6=0
a^2+b^2=5(a+b)+6
       =5*5+6
       =31
したがって、
a^2+ab+b^2=31+(-3)=28 です

二つ目は、
2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)
   =16-14
   =2
よって ab=1

このような問題を数多く練習していれば、変形は身につきますよ。
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左辺にa+b=5,右辺の一番右にab=-3を代入するのです。



これより、

25=a^2+ab+b^2-3
28=a^2+ab+b^2

あれ?おかしいな・・・
問題か答のどちらか、写し間違えてませんか?
本当は、
a^2-ab+b^2 (真ん中が-)では?
それなら34になります。

この手の問題は、もちろんa,bを連立して個別に代入してもいいのだけど、
対称式(式の係数が左右対称のもの)は、このように解きます。

a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)

この2つは重要ですから、覚えてしまいましょう。
もしも正しい問題がa^2-ab+b^2 の値だとすると、
今の等式より、(足し算の順番を入れ替えるのがポイント)
a^2+b^2-ab=(a+b)^2-2ab-ab=(a+b)^2-3ab=25+9=34
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a+b=5、ab=-3のときのa^2+ab+b^2



 a^2+ab+b^2 = a^2+ab+b^2+ab-ab = a^2+2ab+b^2-ab

ここで展開の公式(x+y)^2=x^2+2xy+y^2を思い出してみて下さい。

すると、
 a^2+2ab+b^2-ab = (a+b)^2 -ab

これに a+b=5、ab=-3を代入すると、
 5^2-(-3) = 28

・・・って、あれ?34にはなりませんねぇ。
問題か答えが間違ってないですか?(って、えらい自信・・・(汗))

もう1つの方はsks4myさんの回答の通りです。
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1問目も、sks4myさんが書いてくださった等式に代入するだけです。


(a+b)^2=a^2+ab+b^2+abだから・・・?
あとは書きませんよ!

この回答への補足

すいません!補足お願いします~
この問題で、
a^2+ab+b^2+abの
a^2とb^2にa+b=5かab=-3を代入できるようにするにはどうすればいいのでしょうか?!

補足日時:2001/06/13 06:42
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2問目


(a+b)~2=a~2+2ab+b~2
(a+b)~2=a~2+b~2+2ab
a+b=4,a^2+b^2=14を入れる
    4~2=14+2ab
    16=14+2ab
     2=2ab
             ab=1

数学なんて久しぶりに解いたので・・・細かい展開の表記の仕方は
違うかもしれません・・・。「2乗」って表記しづらいのが難点ですね・・・。 
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Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。


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