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高校数学、多変数の恒等式
高校数学の教科書には
xは任意の実数をとるとします。

ax^2+bx+c=px^2+qx+r⇔a=p,b=q,c=rというような内容が書かれていますが、
今日問題を解いていたら、
a,b,c,dを任意の変数、p、q、r、s、t、u、v、wをある実数として、
pa+qb+rc+sd=ta+ub+vc+wd⇔p=a,q=d,r=v,s=wという内容が書いてありました。
私は、以前2変数以上の恒等式は整式であろうと、なかろうと係数比較という方法が通用するとは限らないと教わったので、a,b,c,dに数値を代入して必要性から十分性へという流れで解きました。
同値であることは理解できるのですが、以前教わった内容は間違えなのでしょうか?
(教科書には整式の1変数の恒等式についてしか書かれておらず、参考書を読んでも多変数の恒等式はどう考えるべきかが載っていません)

質問者からの補足コメント

  • 皆さん回答ありがとうございます。
    「すべての変数が相等しいとき、一変数化できる」から、と考えていらっしゃいますが、
    整式のではない場合(指数関数や三角関数、有利式など)の場合も係数比較できるのでしょうか?
    教科書に恒等式の項目がありますが、(一変数の場合です)
    係数比較できるのは整式の場合についてしか書かれていません。
    三角関数や指数関数の場合はその場で考える(係数比較できると覚えるべきではない)のでしょうか?

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/04/01 13:10

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A 回答 (2件)

右辺は、p=a,q=d,r=v,s=wではなくて、p=t,q=u,r=v,s=wですよね?


a,b,c,dが任意であると言う事は、すべて同じ変数でも成り立たなければいけません。
つまり、左辺の式は、px+qx+rx+sx=tx+ux+vx+wxでも成り立つ必要があります。
この事から、px+qx+rx+sx=tx+ux+vx+wx⇒p=t,q=u,r=v,s=wとなります。
p=t,q=u,r=v,s=w⇒pa+qb+rc+sd=ta+ub+vc+wdは自明ですね。
したがって、pa+qb+rc+sd=ta+ub+vc+wd⇔p=t,q=u,r=v,s=wとなります。
a,b,c,dが任意であると言う条件から、一変数としても成り立つ必要があるので、係数比較が出来る事になります。
この回答への補足あり
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左式は pa+qb+rc+sd=ta+ub+vc+wd


が正しいと思いますが、これは

(p-t)a+(q-u)b+(r-v)c+(s-w)d=0

に変形できます。

これが任意のa、b、c、d で正しいなら
a、b、c、dの係数は0でなければなりません。

よって、質問に載っている答になります。「任意」と「ある」の違いをよく味わうこと。
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