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あるサンプリング周波数で再現できる最高周波数を求めるにはどうすればよいのでしょうか?

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A 回答 (3件)

ナイキストの定理(サンプリング定理)のことをおっしゃってます?



サンプリング周波数の半分未満の周波数が再生できます。

逆に言うと、再生したい周波数の2倍以上のサンプリング周波数が必要ということです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
サンプリング定理で求められるんですね。助かりました。

お礼日時:2004/06/18 21:54

 フーリエ解析の理論的には#1の方の回答で正しいと思います。



 ただ周波数分析装置のFFTアナライザーなどではサンプリング周波数の2.56分の1と説明されていますね。
 これはフィルターや精度上の問題があるデータとしての信頼性の薄い領域を捨てているためのようです。

 例えば1024Hzでサンプリングしたデータは数値計算上512Hzまで出ますが、実用上は400Hzまでしか表示しないようになっています。
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この回答へのお礼

詳しくありがとうございます。

お礼日時:2004/06/18 21:54

サンプリング定理に書かれていますね。



人間の耳の可聴範囲が20kHzちょいなので、CDのサンプリング周波数が44.1kHzになっているような話が有名です。

参考URL:http://www.cqpub.co.jp/term/samplingtheorem.htm
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この回答へのお礼

HP参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時:2004/06/18 21:56

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Q遮断周波数のゲインがなぜ-3dBとなるのか?

私が知っている遮断周波数の知識は・・・
遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
<遮断周波数の定義>
出力電力が入力電力の1/2となる周波数を指す。
電力は電圧の2乗に比例するので
Vout / Vin = 1 / √2
となるので
ゲインG=20log( 1 / √2 )=-3dB
となる。

ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
となるのでしょうか?
定義として見るにしてもなぜこう定義するのか
ご存じの方いらっしゃいましたら教えて下さい。

Aベストアンサー

>ここで、なぜ出力電力が入力電力の1/2(Vout / Vin = 1 / √2)
>となるのでしょうか?
>定義として見るにしてもなぜこう定義するのか

端的に言えば、
"通過するエネルギー"<"遮断されるエネルギー"
"通過するエネルギー">"遮断されるエネルギー"
が、変わる境目だからです。

>遮断周波数とはシステム応答の限界であり、それを超えると減衰する。
これは、少々誤解を招く表現です。
減衰自体は"遮断周波数"に至る前から始まります。(-3dBに至る前に、-2dBとか、-1dBになる周波数があります)

QFFT・PSDの縦軸は何を意味するのでしょう?

加速度計測の結果について、PSD(パワースペクトラムデンシティ)をかけた場合、その縦軸の意味を教えてください。
また、FFTとPSDはどういう違いが有るのでしょうか?
これまでは、周波数の分布のみに着目していました。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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縦軸は係数をかけていない状態では#1さんがおっしゃるように計測した電圧の値を示しています。

よって、縦軸に物理的な意味を持たせるのには、電圧と加速度の間の換算係数をかけてやる必要があります。

フーリエ解析は時刻歴波形は正弦波の組み合わせで構成されるという仮定の下で計算を行っています。FFTの結果は横軸で示される周波数の正弦波の振幅を示しています。
電圧と加速度の換算係数をかけてやると、FFTの縦軸はその周波数成分を持つ加速度振幅を示しています。

ここで1つ問題があります。FFTはサンプリング周波数により分解能が変わります。FFTによる周波数分析は正確にいうと、離散値なので、ジャストの周波数のもをだけを表しているのではなく、ある範囲の周波数範囲にある成分を表しています。
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そのため、周波数幅で振幅を基準化して、1Hzあたりの振幅としたものがPSDです。
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一般に加速度センサー信号の出力は電圧です。

縦軸は係数をかけていない状態では#1さんがおっしゃるように計測した電圧の値を示しています。

よって、縦軸に物理的な意味を持たせるのには、電圧と加速度の間の換算係数をかけてやる必要があります。

フーリエ解析は時刻歴波形は正弦波の組み合わせで構成されるという仮定の下で計算を行っています。FFTの結果は横軸で示される周波数の正弦波の振幅を示しています。
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Q反転増幅器の周波数特性

入力電圧V1=300mV、R1=10kΩ、Rf=100kΩの反転増幅回路で周波数を100Hzから200kHzまで徐々に変化させていくと、10kHz以降から位相差が生じて、出力電圧、利得が減少しはじめました。どうしてこんなことが起きるのでしょうか?その根拠がわかりません・・・
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どなたかご回答の程よろしくお願いします。

Aベストアンサー

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(1)3種類とも利得が-3dBになる高域遮断周波数が約40kHzになりました。理論値と比較したいのですが理論式の導出がわからない
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Q標本化定理をわかりやすく教えて!

”あるアナログ的な信号をデジタルデータにサンプリングする場合、原信号に含まれる周波数成分をすべて正確にサンプリングするためには、原周波数の2倍以上のサンプリング周波数が必要となる。これを標本化定理という。”

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出来れば絵付きでわかりやすく説明してください!お願いします。

Aベストアンサー

sin,cos もちゃんと習ったし、フーリエ展開ってのもわかった(つもり :-)、
だけど、周波数て結局何なんだ?、標本化定理の式は何を意味して
いるんだろう? というのが貴方の質問かと思います。
(小生も、理系の大学を出たものの、下記本に出会うまでは
 ちいとも理解していないことに気がついたのです。)

講談社 ブルーバックス
ディジタル・オーディオの謎を解く  天外伺朗 著
ISBN4-06 13268005 C0255 P600E

を読めば、目から鱗がとれること、請け合いです!!

残念ながら、今現在はAmazon.co.jpでもその他大手のWeb本屋でも
手に入らない可能性が大です。

ちなみに、著者名:天外伺朗(てんげ・しろう) はAIBOでおなじみのソニーの
土井さん(らしい)です。 本当に理解している人だから、こういう
素晴らしい説明が書けるものだと感心せずにはいられません。

貴方がもし、教師でしたらどんなことをしても手にいれるべき本だと
おもいます。(この本では、ほかにCDに欠かせないクロスインタリーブ
符号の原理もあっとおどろくほど明快に記述されています。)

---------------
以下、小生なりに上記バイブルの内容をまとめてみたものを投稿して
おきます。( 周波数、標本化の説明のところだけ)

(具体的説明の為、音の周波数とします。また、図がずれますので
 固定フォントにしてみてください)
さて、電波にせよ音にせよ、自然界にある波動は時間の周期関数です。
ですからその意味での周波数が定義できます。しかしこの時の周期をもって
描かれる曲線(F(t))は、いわゆるsin/con curveではない、複雑な任意の
形状をした曲線です。 そこで、人間はそういう形は複雑でも周期をもって
いる曲線をなんとかもっと分析しやすくする方法はないものかと考えた
のです。 で、フーリエさんという人が熱の伝導を研究しているときに
熱の分布の周期関数ってのはsin/conの基本周期とその倍数周期の足し合わせ
になることを証明しちゃったわけです。 つまり、周期関数ってのは
(実は周期関数でなくても任意の関数でいいのですが)sin/conの足し合わせ
で表せるということです。 これは、3次元空間の座標にたとえると、ある
任意の座標を決めるにはx,y,zという直交する座標軸を決めて、その各座標値
で示せるというのと同じです。 ちょっと違うのは周期関数の場合は座標軸に
あたるのが、sin/cos関数という関数ということです。しかも無限にある。

さて、ここで周波数のもうひとつの意味がおわかりになると思います。
そう、いわゆる周波数スペクトル(分析)の周波数というのは、こうした
sin/cos 関数の基本周期・倍周期を指しているのです。基本周期は分析対象
となる元の周期関数の周期をとります。

そしてこれで、”帯域制限”の意味もおわかりになると思います。
上記で、”無限”にあるsin/cos関数といいましたが、音の場合で
いうと20KHz(sin/cos の倍周波数)で止めても、もとの周期関数
(音)の形にはちいとも影響がないと仮定するというか、してしまう
わけです。

そうそう、あと、sin/cosと2種類の関数の足し合わせですが、実は
これはsinかcosかどっちかの関数1種類にしてしまいます。

 sin(a+b) = cos(a)sin(b)-sin(a)cos(b)  とかの公式で
 a*cos(x) + b*sin(x) = c*sin(x+d) c= sqr(a*2+b*2), d=tan(b/a)

てな具合に変形できます。 

FFT(高速フーリエ変換装置)なる機械で表示される周波数スペクトル
の棒の長さは、実はこの”c”なる定数なのです。

つまり、任意の音をFFTにかけて、その周波数スペクトルをみると
下図のように表示されるのです。 

うーん、ここで、元の音のなめらかな曲線図を書けないのがつらいですが、
どうか想像してください。 そのなめらかな周期曲線が周波数(もう、
間違わないでください、ここでいう周波数とはsin/cosという直交関数の
きれいなcurveの周波数のことです)の含み具合が表示されるということです。
 
逆に言うと、下図のとおりの割合でsin/cos curveを足し合わせれば
元のなめらかな音の周期関数が再生できるということです。

|
| *
| *
| * *
| ** *
| ******
| *******
| ********
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz

ふー、やっとここで標本化定理です。

まず、驚くべき事実をいっちゃいます。標本化では、周波数(sin/cosの
ほうでっせ)情報を失うようにおもわれますが、実際は逆なのです。
情報はうしなわれるどころか、おまけがついてきます。

ここでは、20KHzまでのsin/cosを残したいので、44KHzで標本を
取った場合(想像してください。元の音のなめからな曲線を44K個
の箇所でとったパルス上の棒グラフとすることです。)

すると、その44K個のパルス上の棒グラフを周波数スペクトル分析
(FFT)にかけるとどうなるでしょうか?

そう、下記になるのです!! 

|
| *...............* *
| *...............* *
| * *...............* ** * *
| ** *...............* **** *
| ******...........************
| *******.........**************
| ********.......****************
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz      44Khz 
             (44Khzのところを中心に
              もとの周波数スペクトルの反転パターンを      
              背中合わせにしたパターンが現れます)


標本化を44Khzと、20Khzの2倍よりはちょっと多めにしたのは
上記図で、もとのなめらかな周期関数を再生するのに十分な
周波数のかたまりと、標本化でできる余分な周波数のかたまりの
間に隙間ができるようにするためです。 そう、これがエイリアシング
(Aliasing: Alias->"別名"というのが元の意味。)を防ぐということです。

もし、30Khzとかの20Khzの2倍以下の標本化をしてしまうと
下記図のようにAliasingが発生するわけです。こうなると
次にのべる再生方法では、もとの周期関数の再生は不可となることが
わかるでしょう。

|
| *........* *
| *........* *
| * *......* ** * *
| ** *......* **** *
| ******..************
| *********************
| *********************
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
20Khz  30Khz    44Khz 


うーん、最後の説明の再生方法なんですが、これも想像してもらうしか
ないです。 なんせ連続曲線図が書けないもので。

もう、おわかりでしょう、先にも書きましたが、もとのなめらかな
周期関数曲線を得るには、標本化で得られた20Khz以下のパターンだけを
取り出せばいいわけです。 そう、20Khzまでは100%素通りさせ、20Khz
以降の周波数はカットしてしまうフィルターを通せば良いのです。
(そんな理想的なフィルターは工学的にはできないそうですが)

んで、なんで2倍なのか、3、4倍でもいいじゃないかという質問の
答えは、 2倍で十分な情報がとれるのに、そんな無駄な! ということ
です。 高周波装置ってつくるのが難しいらしいですからね。

おわり。 (一気に書いて、見直しはしておりません。あしからず。
      是非、バイブルをお読みくださいませ)

sin,cos もちゃんと習ったし、フーリエ展開ってのもわかった(つもり :-)、
だけど、周波数て結局何なんだ?、標本化定理の式は何を意味して
いるんだろう? というのが貴方の質問かと思います。
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を読めば、目から鱗がとれること、請け合いです!!

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Qエクセルで片対数グラフを作る

エクセルで片対数グラフを作る方法を詳しく教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

グラフの数値軸のところで右クリックして
軸の書式設定(O)→目盛(タブ名)

対数目盛を表示する(L)
にチェックを入れてください。

Q計算値と理論値の誤差について

交流回路の実験をする前に、ある回路のインピーダンスZ(理論値)を計算で求めたあと、実験をしたあとの測定値を利用して、同じ所のインピーダンスZ(計算値)を求めると理論値と計算値の間で誤差が生じました。
そこでふと思ったのですが、なぜ理論値と計算値の間で誤差が生じるのでしょうか?また、その誤差を無くすことはできるのでしょうか? できるのなら、その方法を教えてください。
あと、その誤差が原因で何か困る事はあるのでしょうか?
教えてください。

Aベストアンサー

LCRのカタログ値に内部損失や許容誤差がありますが、この誤差は
1.Rの抵抗値は±5%、±10%、±20% があり、高精度は±1%、±2%もあります。
2.Cの容量誤差は±20% 、+50%・ー20% などがあり
3.Lもインダクタンス誤差は±20%で、
3.C・Rは理想的なC・Rでは無く、CにL分、Lに抵抗分の損失に繋がる成分があります。
これらの損失に繋がる成分は、試験周波数が高くなると、周波数依存で増大します。
また、周囲温度やLCRの素子自身で発生する自己発熱で特性が変化します。
測定器や測定系にも誤差が発生する要因もあります。
理論値に対する測定値が±5%程度発生するのは常で、実際に問題にならないように、
LCRの配分を工夫すると誤差やバラツキを少なく出来ます。
 

Q周期T、周波数f、T=20[ms]のf=50[Hz]

T=20[ms]のf=50[Hz]とあります。
T=1/fを使い、秒を分にすればいいと考えたんですが、50[Hz]になりません、どう計算するのでしょうか?

Aベストアンサー

msとはミリ秒、つまり1/1000秒のことです。
秒に換算すると、20/1000=1/50秒
f=1/T=1(1/50)=50Hzとなります。


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