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よろしくお願いいたします。
以下の問題の考え方でつまづいています。

(問題文)

△OABにおいて、ベクトルOA=ベクトルa ベクトルOB=ベクトルbとおき、ベクトルOP==sベクトルa+(s+t)ベクトルbとする。
(1)0≦s≦1, 0≦t≦1のとき、点Pの存在範囲を図示せよ。
(2)0≦s+t≦1, s≧0, t≧0のとき、点Pの存在範囲を図示せよ。

(解答)

(1)ベクトルOAとベクトルOBの和をベクトルOMとし、さらにベクトルOBとベクトルOMの和をベクトルONとすると、平行四辺形OMNB
(2)三角形OBM

となっています。


この類の問題がとても苦手で、以下のように直交座標に直して考えているのですが、解答と合致しません。
ベクトルOA,OBに特に制限はないので、ベクトルOA=(1,0)ベクトルOB=(0,1)としても一般性を失わない。ベクトルOP=(x,y)とするとそれぞれ代入して x=s, y=s+t
s+t=kとおくと0≦k≦2
したがって、0≦s≦1,0≦k≦2から0≦x≦1,0≦y≦2
よって、ベクトルOBを2倍したベクトルをベクトルOB'とすると平行四辺形OAB'B

問題集の解答は直交座標に直すものではないのですが、私自身が直交座標の方がとっつきやすいこともあって、直交座標で考えています。
非常に煩雑かつ見辛い説明になってしまいましたが、私の解答の不正確な点をご指摘願えないでしょうか。

A 回答 (2件)

No.1です。

(2)について書き忘れましたが、こちらはさらに

  0≦s+t≦1

という条件が付いています。これは、k=s+t とおけば

  0≦k≦1
  s=k - t

ですから、これをtに代入し、

  ベクトルOP= sベクトルa+(s+t)ベクトルb
      = (k - t)ベクトルa+kベクトルb
      = k(ベクトルa + ベクトルb) - tベクトルa

ということになります。ベクトルの引き算(=ベクトルの方向を逆いして足し算)ということです。
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直交座標でも、斜交座標でも構いませんが、条件付けが間違っています。



 直交座標だと、

「s+t=kとおくと0≦k≦2」

と書いてあるところを、

「s+t=kとおくとs≦k≦s+1(≦2)」

としないといけません。つまり、kの範囲はもっと限定されるということです。

 従って、

「したがって、0≦s≦1,0≦k≦2から0≦x≦1,0≦y≦2
よって、ベクトルOBを2倍したベクトルをベクトルOB'とすると平行四辺形OAB'B」



「したがって、0≦s≦1,s≦k≦s+1から0≦x≦1,x≦y≦x+1
よって、ベクトルOBと、ベクトルをベクトルOM(ベクトルOAとベクトルOBの和)を2辺とすると平行四辺形」

ということになります。

 質問者さんは「斜交座標」と考えているようですが、単なる「XY直交座標」におけるベクトルの合成の問題と考えた方がよいと思います。
 物理などで、斜面や平面上を動く物体の運動を考えるのと同じです。
 いちいち「座標変換」などを考えると、かえって混乱しますから。

 与えられた問題も、

  ベクトルOP= sベクトルa + (s+t)ベクトルb
      = s(ベクトルa+ベクトルb)+ tベクトルb

というだけの話です。
 つまり「ベクトルa+ベクトルb」の合成ベクトルの長さを「s倍=0~1倍」にしたものと、ベクトルbの長さを「t倍=0~1倍」にしたものとの合成ベクトルの範囲を求めるということです。最大で「s=1倍」(=「ベクトルa+ベクトルb」の合成ベクトル=ベクトルOM)、「t=1倍」(=ベクトルb=ベクトルOB)を2辺とする平行四辺形ということです。

 ベクトルはベクトルのままで考える癖をつけた方がよいと思います。
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