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学校で、加減乗除の計算の際の有効数字の設定についてと説明されたのですが加算の時は位が高い方に合わせる、乗算の時は低い方に合わせる。と言われましたが、例外もあるようで結局どうすればよいかわかりません。
例えば
A、0.123+0.0123
B、0.123×0.0123
の場合どうなるのでしょうか?
教えて下さい‼︎よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

そんな覚えて済まそうとするから理数系が伸びない。

そもそも0.123も0.0123も有効数字3桁ですよ。基本を理解していないからおかしなことに
0.123・・・ ・・・は不正確、意味は0.123 +0.0004~-0.0005
 0.123・・・
+)0.0123・・ 意味のない桁に加えても意味無い。

 0.1234 ~ 0.1229
+ 0.0123 ~ 0.0123
 0.1357 ~ 0.1352

 掛け算も同様に・・考えて見ましょう。

★そもそも、0.123と0.0123は有効数字何桁ですか??そこをまったく理解していない。
0.123  有効数字3桁
0.0123  有効数字3桁
で同じです。加えると0.1353 になりますが、有効数字3桁ですから、0.135です。
書けても同じです。
0.123 × 0.08 は、有効数字3桁と1桁ですから、0.0984 ⇒ 0.1 ですよ。

0ではない数字に挟まれた0は有効である。
  1230.04 は有効数字 7桁
0ではない数字より前に0がある場合、その0は有効ではない。
  0.000123 は有効数字3桁
小数点より右にある0は有効である。
  123.00 は有効数字 5桁

加算の場合は、桁数を合わせて確かな桁まで求める。
 123000
+  120
 123000←

掛け算の場合は12300 × 120 は
 1.23 × 10⁵ × 1.2 × 10² = 1.5 × 10⁵
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有効数(計算精度)を定めたら、普通は何桁か増やして計算を進めます。


加減乗除を重ねるとその誤差が有効桁数にまで及んでくるからです。
その中で、信頼できる桁数が最も少ない源情報が、結論の有効桁数、とするのが普通です。

加算の時は位が高い方に合わせる。
 例で言えば、被加算数0.123の小数点以下4桁目(空欄)は信頼性が無いので、
 加算数の同桁「3」の加算は意味がありませんが、
 これが5以上であれば、合計で四捨五入される可能性が高まります…小数点以下3桁目への影響大。
乗算の時は低い方に合わせる。…同様にお考え下さい。

「例外もあるようで」の意味が解かりませんが、
有効桁数を超える桁数で解析(加減乗除の計算)を進めて結果としてそれを示し、
更に、有効桁数は「○桁で有る」旨を付け加えるのが妥当です。
これは、「999」と「1111]は見た目桁数は違いますが、末尾誤差「1」は同じ比率、も含みます。
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No.2です。

昨晩は時間が無くなって、「B」が分かりにくいまま終わってしまいましたので、少し補足します。

 分かりやすさのために、

  123 × 0.0045678

でやってみましょう。

  123 → 1.23 × 10^2
  0.0045678 → 4.5678 × 10^(-3)

と書けるのはご承知のとおりです。

 従って、

  123 × 0.0045678
 = 1.23 × 4.5678 × 10^(-1)

となります。つまり、乗除算では、その数字の精度に「数字の位」や「大きい小さい」は関係なくなってしまうのです。

 これに「誤差」を付記してみると、

  (123 ±0.5) × (0.0045678 ±0.00000005)
 = [1.23 × 10^2 ±5 × 10^(-1)] × [4.5678 × 10^(-3) ±5 × 10^(-8)]
 = 1.23 × 4.5678 × 10^(-1) ±2.2839 × 10^(-3) ±6.15 × 10^(-6) + 2.5 × 10^(-10)
 ≒ [1.23 × 4.5678 ±2.2839 × 10^(-2) ] × 10^(-1)

となり、最大の誤差は第2項であることが分かります。これは「123」の持つ誤差「±0.5」によるもので、「A.AAAA・・・×10^n」で表わした答の小数点以下2桁目にこれだけの誤差があるということです。
(ですから、厳密に言えば「有効数字3桁」で計算した結果は、有効数字3桁目にも多少の誤差がある、ということです。かえって混乱するかな? まあ、「有効数字の少ない方の桁数までは、ほぼ信頼できる」と理解しましょう)

 以上のようにして、乗除算では「数字の位」ではなく、「ゼロ以外から始まる数字の桁数」が有効数字に影響することが分かると思います。
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有効数字の話は、機械的に覚えるのではなく、きちんと「意味」を理解しないと頓珍漢なことをしかねません。



 ポイントは、「どこで数字を丸めているか」「どの程度の誤差を持っているか」ということです。

Aでは、
  0.123 は 0.123 ±0.0005 
つまり真値は 0.1225~0.1234999・・・ の間にあるということです。

 足し合わせる 0.0123 は同様に、0.0123 ±0.00005 ということです。

 従って、不確かさは「±0.0005」(値の大きい方)が支配的なので、小数点以下4桁目より下は誤差ということになります。従って、小数点以下4桁を四捨五入して、小数点以下3桁までの数が「信頼できる数」になるのです。

 つまり、0.123+0.0123 → 0.135 です。

 加減算のときは、このように「実際の数値の何の位まで信用できるか」(この場合は「小数点以下3桁=0.001の位まで」)で考えます。細かい数値は信用できないので、高い位の方に合わせます。


Bでは、これが掛け算なので、

  (0.123 ±0.0005)× (0.0123 ±0.00005)
 = 0.123 × 0.0123 ±0.0005 × 0.0123 ±0.00005 × 0.123 +0.0005 × 0.00005
 = 0.0015129 ±0.00000615 ±0.00000615 + 0.000000025

となって、どちらの誤差も同じように影響します。絶対値ではなく「上から何桁目まで信用できるか」で決まります。(小数点以下の桁数が多くなって、分かりづらいですね)
 この場合には、第1項の小数点以下6桁目、すなわちゼロ以外の数値の上から4桁目以降は誤差の範囲ということが分かります。
 つまり、信用できるのは、ゼロ以外の数値の上から3桁目まで、ということです。従って、上から4桁目を四捨五入して、有効数字3桁にします。

つまり、0.123×0.0123 → 0.00151 です。

 乗除算のときは、このように「ゼロ以外の数値の頭から何桁が信用できるか」(この場合は「3桁」)で考えます。少ない桁数の方が誤差の比率が高いので、桁数の少ない方に合わせます。
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A、0.123+0.0123=0.1353→0.135(有効数字:小数点以下3桁)


B、0.123×0.0123=0.0015129→0.00151(有効数字3桁)
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Q【高校化学】有効数字の指定が無い問題

【高校化学】有効数字の指定が無い問題

化学の問題などで、答えの有効数字の指定が無い場合がよくあります。
私は小数点以上は上から四桁目を四捨五入、小数点以下は小数以下3桁目を四捨五入で計算しています。

567865465.2255222… →5.68×10^8
21.555555555… → 21.56
1.64233335… → 1.64

しかしこの前、1.111111111…molというのを1.11molとして計算したら問題集の答えと0.001ずれてしまいました。解説では0.111として計算したみたいです。
こういう計算であっているときもあれば、微妙にずれているときも多々あります。
ほんのわずかなズレですが、なんだか気になってしまいます。
さらに計算が続けばもっとズレてしまいそうですし…

特に21.5555…や21.44444など、5や4を四捨五入するのにちょっとためらいます…

私のやりかたはあっているでしょうか?
入試ではさすがにバツになりませんよね?

ご回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

気になるところがあります。

>化学の問題などで、答えの有効数字の指定が無い場合がよくあります。

有効数字を考慮しなければいけない時というのは指定されている時だけではありません。
基本的には測定を前提とした数字を扱う問題では常に考慮すべきものなのです。
すべての問題で考慮されなければいけないものです。
答えの有効数字の桁数は与えられている数値の桁数で決まってしまうはずです。
掛け算、割り算については桁数の最小の数値が結果の数値の精度を決めます。そのことを踏まえると途中の演算で出てくる数値の桁数をある桁数以下に抑えながら計算してもかまわないということが出てきます。掛け算は繰り返すと桁数が増えます。3桁×3桁であれば6桁でてきます。四捨五入の影響を押さえるということであっても途中の結果は4桁で十分であるということです。電卓を使ってもいいというのであればともかく手計算で4桁の計算を繰り返すというのは実際上は無理です。あえて結果は2桁でいいという指定が入る時があります。これだと途中は3桁の計算で済みます。有効数字の桁数の指定というのは本来はこういう場合しかないはずです。

ただ「?」のつく問題を目にすることがあるというのは事実です。
 問題に指定されている数値から判断すると2桁の精度しかないはずなのに「3桁で答えよ」というように、答えの有効数字が指定されているのにその材料となる数字がその有効数字の桁数を出すのに十分ではないという問題があるのです。
 有効数字の意味がよく理解されていないという背景があるようです。
(1)物理や化学での「有効数字」は測定値を前提とした数字の信頼性についてのものです。誤差論を背景にしたものですから歴史は古いです。
ところが一方で有効数字は、数字の表記上の問題であるという理解も存在します。
あなたが書かれている有効数字の扱いはどちらかと言えば後者です。
JISの規格に載っている有効数字も後者です。コンピュータの内部での数値処理などにからんでいると思いますので数値計算の本には出てきます。測定は前提になっていません。
有効数字の扱いに慣れていない人が「有効数字とは何か」を知ろうと思ってJISの記述を調べると後者の意味の有効数字を有効数字だと思い込んでしまうことになります。「法律で決まっているからこれで正しいはずだ」と思い込んでしまいますから始末が悪いです。

(2)掛け算、割り算の時の規則と、足し算、引き算の時の規則がごっちゃになっているのではないかと思われるものも目につきます。

(3)桁数の多い数字を使った計算が高度な計算であるという思い込みもあるようです。
桁数の多い数字を出している回答があるのをよく見ます。私は5桁以上の数字を出して説明している回答は基本的に信用しないことにしています。 5桁の数字が必要になるような場面はめったにありません。桁数の多い数値には条件や仮定が付いてきます。必要のない場面で桁数の多い数字を出してくれば分かっていないと思われても仕方がないのです。

(4)測定を前提としていますので問題の中に出てくる数字は測定可能な値であると考えるのが筋です。
桁数だけを増やす目的で後ろに0をつけている問題がありますが無意味です。

重力の加速度は9.8」m/s^2で普通与えられます。
ある大学の化学の問題に「重力の加速度の値は9.800m/s^2であるとする」というのがありました。
ナンセンスな設定です。これで4桁の計算を要求されると受験生はたまりません。


>私は小数点以上は上から四桁目を四捨五入、小数点以下は小数以下3桁目を四捨五入で計算しています。

有効数字の桁数は小数点の位置とは関係がありません。
小数点の上と下で扱いを変えるという根拠もありません。

気になるところがあります。

>化学の問題などで、答えの有効数字の指定が無い場合がよくあります。

有効数字を考慮しなければいけない時というのは指定されている時だけではありません。
基本的には測定を前提とした数字を扱う問題では常に考慮すべきものなのです。
すべての問題で考慮されなければいけないものです。
答えの有効数字の桁数は与えられている数値の桁数で決まってしまうはずです。
掛け算、割り算については桁数の最小の数値が結果の数値の精度を決めます。そのことを踏まえると途中の演算で出...続きを読む