ジョルダン標準形への変換行列の求め方について

Question

この画像の問題の（2）のジョルダン標準形への変換行列Tの求め方なのですが、
定石どおりにλ=1-αが重根のため[A-(1-α)E]t=aとなる列ベクトルtを求めようとしましたが
t=c1[1 0 0]+c2[0 1 0]となってしまい求めることができませんでした。
次にジョルダン標準形Jは決定するためこれからTJ=ATより求めようとしたところ
これでも第1行目が決定せず求めることができませんでした。

回答を見ましたところTJ=JTよりTを決定していました。
回答は少し見にくいですがT=[a;(-3/4) (1) (0);b]となっておりました。

この求め方の意味がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか…
また私がやった定石どおりの方法でこの問題は解くことはできませんか？

どなたかよろしくお願いいたします。

Tacosan · Accepted Answer

とりあえず問題の T は忘れてふつうに
J = P^(-1)AP
の P を求めようとするなら, あなたのやった通りでできますよ.

まず 1-α に対する固有ベクトル [1, 0, 0] と -2 に対する固有ベクトル (略) はあってる. んで 1-α に対して一般化固有ベクトルがもう 1本あって, それは
[A-(1-α)E] x = [1, 0, 0]
の解として
x = [c, 1, 0]
が出てくる. これで合計 3本の (一般化) 固有ベクトルが得られたので, これをふつうに並べれば P になる.

と, #3 に書いてある.

Tacosan · Answer

あぁ, なるほど....

これ, 問題の設定のせいで解答を作った人間が (結果的に) 混乱しちゃったんじゃないでしょうか.

まず, A とそのジョルダン標準形である J 及び変換行列 T の間の関係式は, この設定に従うと
(※) TA = JT
でなければなりません. ところが, 普通相似変換では
(※※) J = P^(-1)AP
という形を使います. そして, この 2つの式から
T = P^(-1)
ということになります.

で自然に固有ベクトルから処理をするときには (※※) の形を想定するわけですが, 解答を作った人間がこの変換行列 P を (※) の T と勘違いしてしまった可能性があります. そこで変換行列の求め方はふつうに (※※) のようにしていながら, 最後のところで (※) の形を意識してしまったためにおかしくなっちゃったんじゃないかなと.

うん, ということは A の左固有ベクトルを使えばできるはずだ (やる気ないけど).

hiccup · Answer

テキスト通りに計算してみた。AT=TJ と TA=JT で！

まず AT=TJ のほうは、列ベクトル ( t1 1 0 ) が出た。t1 は自由に選べる。

次に TA=JT のほうだが、確かに t1=-4/3 が出る。しかし、両辺の２行３列成分が一致しない。その前に、列ベクトルが決定すること自体がおかしい。１次元の自由度があってしかるべきだから。
それより、TA=JT の時点で間違っている。

テキストで求めた T で検算してほしい。両辺の２行３列成分を確認してみて。

解答に誤りがあったら、書いた人に文句を言うべき。そのときはついでに、分数を含む固有ベクトルを選ぶなんてセンスないよと伝えておいて。

Tacosan · Answer

1枚目を見るとわかるように TA = JT は実は正しいです＞#4.

で, 4枚目を見ると TA^ = A^T (A^ は Aハット) と書いてるくせにその次の式はそうはなっていない. つまり, テキストのこの部分はおかしい (成分の方があってる).

それから.

[A-(1-α)E]t=a
から
[0 ,1 ,2;0 ,0 ,3;0 ,0 ,(α-3)][t1 ,t2 ,t3]=[1 ,0 ,0]
として
t2+2t3=1
3t3=0
(α-3)t3=0
だから
t3=0
t2=1
はいいんだけど, 自分で「t2=1」って書いてるよね. それと
t=c1[1 0 0]+c2[0 1 0]
を組合せたときに, 「c1,c2を任意定数」とできますか? 「任意定数」ってことは, 例えば c1 = 2, c2 = 4623 とかでもいいってことだよね? 本当?

で本気でど～でもいいことだけど.... 誘導されてるからしょうがないとはいえ, この誘導にのらない方がむしろ簡単な気がするのはどうしてだろう.

hiccup · Answer

No3 だけど、書き間違えた。
「テキストにある TA=JT から」解けるみたいなことを書いていると思うけど、これは違う。
定義から AT=TJ でないといけないはず。テキストでは TA=JT のような気がします。おかしいな。

それからテキストをよく見てほしいのだけれど、ジョルダン標準形は A の上にティルダだかハットだかがついてますよ。だから TA=AT でもなければ TJ=JT でもないです。

hiccup · Answer

割り込んじゃいますが ...

見づらい... いろいろと...


この場合、作業の流れは普通こうなると思います。

(1) [A-(1-α)E]x=0 を解く
→ 対角化はできないとわかるが、ジョルダン標準形がこの時点で決まる

(2) T を求めるなら、[A-(1-α)E]^2 x=0 を解く
→ 当然２次元で出るけど、選ぶべきベクトルが丸見えである
→ それを使って残るひとつを求める

(3) (2) の続き、-2 の固有ベクトルを求める
→ これでT が決まる。当然だけど、AT=TJ が確認できる。

以上ですが、普通にするほうがシンプルな T を見つけることができました。



あなたは「定石どおりにλ=1-αが重根のため[A-(1-α)E]t=aとなる列ベクトルtを求めようとしましたが」と書いてますが、求めてるのが広義固有空間なところが謎です。

a とは [1 0 0] のことだと思いますが、t が求まるなら確かに T を決められます。しかしこれは、テキストにある TA=JT から残りの列ベクトルを決めることと同じことだと思います。なぜなら

[A-(1-α)E]t=a の解のひとつを t=c とする.
Ac=(1-α)c+a 、Aa=(1-α)a なので

A(a c)=(Aa Ac)=((1-α)a (1-α)c+a)=(a c)J(1-α,2)
ただし、J(1-α,2) とは２次のジョルダン細胞.

このように、a, c を底にとると広義固有空間上で変換 A は２次のジョルダン細胞に見えるわけです。
b を参加させると

A(a c b)=(a c b)J

になりますよね。テキストでは逆にこの式から c を決めようとしているのでしょう。



そこではたぶん多くの人が迷わず 0 を選ぶはずなのに、なぜわざわざ -4/3 なのかが謎。テキストは読んでないわけだが。

Tacosan · Answer

もっと大きくしてほしいなぁ.

さておき, いまひとつきちんとみえない画像から推測すると, そもそも
「[A-(1-α)E]t=aとなる列ベクトルtを求めようとしましたが
t=c1[1 0 0]+c2[0 1 0]となってしまい求めることができませんでした」
の時点で (日本語のみならず数学的にも) おかしい気はするよ.

あと, あなたのいう「定石どおりの方法」がなにをさすのかさっぱりわからない.

Tacosan · Answer

画像が見えないんだけどなぁ.

ジョルダン標準形への変換行列の求め方について

とりあえず問題の T は忘れてふつうに

あぁ, なるほど....

テキスト通りに計算してみた。

1枚目を見るとわかるように TA = JT は実は正しいです＞#4.

No3 だけど、書き間違えた。

割り込んじゃいますが ...

もっと大きくしてほしいなぁ.

画像が見えないんだけどなぁ.

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