次の問題を教えてください。

整数nに対して、P(n)=n^5-n とする。
このとき、次の各問いに答えよ。

(1) P(n)は30の倍数である事を示せ。
(2) P(n)が120の倍数となるようなnを求めよ。

です。
(1)の方は、P(n)=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
 として(n^2+1)を考えて求めていくんだろうなあと思っているのですが
 その次がわかりません。 よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

(1)


P(n)=n(n-1)(n+1)(n^2 +1)
と因数分解します。

どんなnに対してもn、n-1、n+1のどれか1つは3の倍数になり、
またどれか1つは2の倍数になります。
そこでP(n)は2×3=6の倍数であることがわかります。
そこでn、n-1、n+1のどれか1つが5の倍数であれば
P(n)は6×5=30の倍数であることがいえます。

また n、n-1、n+1のどれも5の倍数でないときは
その時は n^2 +1が5の倍数になる、ということを証明すれば
(1)の命題が示せたことになります。

n、n-1、n+1のどれも5の倍数でないときは
n-1=5k+1、n=5k+2、n+1=5k+3 または
n-1=5k+2、n=5k+3、n+1=5k+4
の形で書けます。
n=5k+2 なら n^2 =5k+4
n=5k+3 なら n^2 =5k+4
の形で書けますから
n^2 +1はちょうど5の倍数になります。             ■

(2)
nがなんであれP(n)は30の倍数であることがわかったので
P(n)が8の倍数になるようなnを求めれば
P(n)は8と30の最小公倍数である120の倍数になることがわかります。
逆にP(n)が120の倍数ならもちろんP(n)は8の倍数でもありますから
P(n)が8の倍数になることはP(n)が120の倍数になるための必要十分条件です。
またこのときP(n)は4の倍数にもなっていることに注意しましょう。

これは場合わけで考えるしかなさそうです。
n、n-1、n+1の3つについて4の倍数になるかどうかを
考えると
(1) n-1=4k-1、n=4k、n+1=4k+1
(2) n-1=4k、n=4k+1、n+1=4k+2
(3) n-1=4k+1、n=4k+2、n+1=4k+3
(4) n-1=4k+2、n=4k+3、n+1=4k
の4つの場合があります。
まず(3)の場合はn^2+1=4k+1となりますからこのときは
P(n)の因数に4の倍数は含まれない、すなわちP(n)は120の倍数となり得ません。
(2)と(4)の場合はもちろんOKです。このときP(n)は8の倍数になっていることがわかりますね。
(1)のときは n^2 + 1=4k+1なのでこの場合に8の倍数となり得る数はnしかないことになります。
したがってnは4の倍数かつ8の倍数であること、すなわち8の倍数であることが必要です。
まとめると

n=4k+1
n=4k+3
n=8k
のどれかで表される数であることが必要です。
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この回答へのお礼

詳しく教えていただきありがとうございました。

お礼日時:2001/06/14 15:46

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