物理交流良問の風 130(4)問、コンデンサーにかかる電圧vcを時刻tの関数として表せ。

締切済

質問者：lovehotgirl
質問日時：2015/06/24 14:32
回答数：4件

物理交流良問の風 130(4)

問、コンデンサーにかかる電圧vcを時刻tの関数として表せ。

解答、電圧vcの最大値をVとして

vc=√2Vsin(ωt-π/2) これから式変形をして答えを導くのですが、そんなことはどうでもよくて、

質問したいのは、なぜ、

vc=Vsinωt ←これではなく

vc=√2Vsin(ωt-π/2)←これになる？

なぜ教科書ではコンデンサーの交流において、v=Vsinωtと記載されてるのでしょうか？

補足日時：2015/06/24 16:30
通報する

通報する

この質問への回答は締め切られました。

質問の本文を隠す

回答 (4件)

最新から表示
回答順に表示

No.5

回答者： yhr2
回答日時：2015/06/28 12:30

他の回答者さんの回答にあるように、前提条件として、コンデンサーに流れる「電流」を

　　IC(t) = I0 * sin(ωt)　　　（１）

としているのでしょうね。

　そうすれば、コンデンサーのインピーダンスは

　　　Z = 1/jωC = -j/ωC　　　（２）

ですから、

　　VC(t) = Z*I = -j(I0/ωC) * sin(ωt)

になります。

　これは、複素平面上で「下向き」のベクトルですから、VC(t) の位相が「パイ/2」遅れているということです。
　三角関数で書けば、

　　　　VC(t) = (I0/ωC) * sin(ωt - パイ/2)　　（３）

ということです。

　ここで、

　　　(I0/ωC) ＝ V0

と書けば、

　　　VC(t) = V0 * sin(ωt - パイ/2)　　（４）

となります。

　さらに、交流回路における「実効値」というものもおさらいしておきましょう。
　位相差を考えない

　　　I(t) = I0 * sin(ωt)
　　　V(t) = V0 * sin(ωt)

を考えて、電力 P(t) を

　　　PC(t) = V(t) * I(t)

とすれば、

　　　P(t) = I0 * V0 * sin^2(ωt)
　　　　　= I0 * V0 * [1 - cos(2ωt)] / 2

１周期の平均値をとれば

　　　Pave = I0 * V0 / 2

となります。

　この平均電力に対応する電流：I、電圧：V を考えると、

　　　Pave = I * V = I0 * V0 / 2

V = I * Z とすれば、V0 = I0 * Z でもあるので

　　　Pave = I^2 * Z = I0^2 * Z / 2

　これから、　I = I0 / √2　　つまり　 I0 = √2 * I

　同様に、　V = V0 / √2　　つまり　 V0 = √2 * V　　（５）

　この I 、V が「実効値」と呼ばれるものですね。
　詳しくは、こんなサイトなどを参考に。
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/b2/64/6433ji …

　（５）を（４）に代入して

　　　VC(t) = √2 * V * sin(ωt - パイ/2)

というのが、ご質問の式変形の出発点として設定されたわけです。

　ご質問の式は、「位相」と「実効値」を考慮した式というわけです。

＞なぜ教科書ではコンデンサーの交流において、v=Vsinωtと記載されてるのでしょうか？

　電流なり電圧の「瞬時値」の最大値（上の説明の I0、V0 ）を使うか、「実効値」（上の説明の I 、V ）を使うかは、場面によって変わります。
　教科書では、コンデンサーの電圧の時間変化を直接説明するので「瞬時値」を使った表記にしているのでしょう。

　交流回路を取り扱うときに、いちいち三角関数で表わすのは面倒なので、直流回路と同じように「オームの法則：V=I*Z」や「P=I*V」を、三角関数を使わずにそのまま表記するときには、上記の「電力」の例で分かるとおり、「実効値」にしないとつじつまが合わなくなります。

　交流回路では、「瞬時値」（ミクロな見方）と「実効値」（マクロな見方）の２通りを、きちんと理解した上で使い分けることが必要なのです。