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物理 交流 良問の風 130(4)

問、コンデンサーにかかる電圧vcを時刻tの関数として表せ。

解答、電圧vcの最大値をVとして

vc=√2Vsin(ωt-π/2) これから式変形をして答えを導くのですが、そんなことはどうでもよくて、

質問したいのは、なぜ、

vc=Vsinωt ←これではなく

vc=√2Vsin(ωt-π/2)←これになる?

質問者からの補足コメント

  • なぜ教科書ではコンデンサーの交流において、v=Vsinωtと記載されてるのでしょうか?

      補足日時:2015/06/24 16:30
gooドクター

A 回答 (4件)

他の回答者さんの回答にあるように、前提条件として、コンデンサーに流れる「電流」を



  IC(t) = I0 * sin(ωt)   (1)

としているのでしょうね。

 そうすれば、コンデンサーのインピーダンスは

   Z = 1/jωC = -j/ωC   (2)

ですから、

  VC(t) = Z*I = -j(I0/ωC) * sin(ωt)

になります。

 これは、複素平面上で「下向き」のベクトルですから、VC(t) の位相が「パイ/2」遅れているということです。
 三角関数で書けば、

    VC(t) = (I0/ωC) * sin(ωt - パイ/2)  (3)

ということです。

 ここで、

   (I0/ωC) = V0

と書けば、

   VC(t) = V0 * sin(ωt - パイ/2)  (4)

となります。


 さらに、交流回路における「実効値」というものもおさらいしておきましょう。
 位相差を考えない

   I(t) = I0 * sin(ωt)
   V(t) = V0 * sin(ωt)

を考えて、電力 P(t) を

   PC(t) = V(t) * I(t)

とすれば、

   P(t) = I0 * V0 * sin^2(ωt)
     = I0 * V0 * [1 - cos(2ωt)] / 2

1周期の平均値をとれば

   Pave = I0 * V0 / 2

となります。

 この平均電力に対応する電流:I、電圧:V を考えると、

   Pave = I * V = I0 * V0 / 2

V = I * Z とすれば、V0 = I0 * Z でもあるので

   Pave = I^2 * Z = I0^2 * Z / 2

 これから、 I = I0 / √2  つまり  I0 = √2 * I

 同様に、 V = V0 / √2  つまり  V0 = √2 * V  (5)

 この I 、V が「実効値」と呼ばれるものですね。
 詳しくは、こんなサイトなどを参考に。
http://www.wakariyasui.sakura.ne.jp/b2/64/6433ji …


 (5)を(4)に代入して

   VC(t) = √2 * V * sin(ωt - パイ/2)

というのが、ご質問の式変形の出発点として設定されたわけです。

 ご質問の式は、「位相」と「実効値」を考慮した式というわけです。


>なぜ教科書ではコンデンサーの交流において、v=Vsinωtと記載されてるのでしょうか?

 電流なり電圧の「瞬時値」の最大値(上の説明の I0、V0 )を使うか、「実効値」(上の説明の I 、V )を使うかは、場面によって変わります。
 教科書では、コンデンサーの電圧の時間変化を直接説明するので「瞬時値」を使った表記にしているのでしょう。

 交流回路を取り扱うときに、いちいち三角関数で表わすのは面倒なので、直流回路と同じように「オームの法則:V=I*Z」や「P=I*V」を、三角関数を使わずにそのまま表記するときには、上記の「電力」の例で分かるとおり、「実効値」にしないとつじつまが合わなくなります。

 交流回路では、「瞬時値」(ミクロな見方)と「実効値」(マクロな見方)の2通りを、きちんと理解した上で使い分けることが必要なのです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2015/07/06 20:12

>vc=Vsinωt ←これではなく


>vc=√2Vsin(ωt-π/2)←これになる?

もちろん不明です。この問題か関連する設問に
位相を決定する何かが示されているはずです。
#電流が基準だとか、、.

こんな断片では何もわかりません。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2015/07/06 20:12

それがどこの教科書か知らないけど、コンデンサーの交流において、v=Vsinωtと記載されているんだったら、コンデンサーに流れる交流電流icは、電圧v=Vsinωtを加えるとき、電流ic=ωCVsin(ωt+π/2)が流れるとなっているはず!つまり、電流の位相がπ/2進んでいるということ!


この問題がvc=√2Vsin(ωt-π/2)となっているのは、前の小問の電流の答えのsinの部分がsinωtと出てきたから、逆に考えて電圧の位相がπ/2遅れるということ!
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2015/07/06 20:12

この手の質問に回答するのは、これで最後と決めたんで最後に!


電圧vcの最大値は√2Vで、位相は電圧に対して電流がπ/2進んでいるからvc=√2Vsin(ωt-π/2)
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2015/07/06 20:13

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