代数問題(10)

3つのベクトル、a=[1 1 1 1], b=[1 -1 1 -1], c=[1 1 -1 -1]がある。

(1)a,b,cが互いに直行していることを示せ。
(2)a,b,cの正規直行基底を求めよ。
(3)a,b,cの全てに直行するベクトルを1つ求めよ。

解いて下さい。よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/06/28 01:22

3つのベクトル、a=[1 1 1 1], b=[1 -1 1 -1], c=[1 1 -1 -1]がある。

(1)a,b,cが互いに直行していることを示せ。

内積を取ればよい。

ab=0　⇒　aとbは直交　
bc=0　⇒　bとcは直交
ca=0　⇒　cとaは直交

以上よりa,b,cは互いに直交

(2)a,b,cの正規直行基底を求めよ。

a,b,cの正規直行基底をan,bn,cnとすると

an=[1/2 1/2 1/2 1/2], bn=[1/2 -1/2 1/2 -1/2], c=[1/2 1/2 -1/2 -1/2]

(3)a,b,cの全てに直行するベクトルを1つ求めよ。

a,b,cの全てに直行するベクトルをv=[x y z u]とすると

av=0より x+y+z+u=0 (*1)
bv=0より x-y+z-u=0 (*2)
cv=0より x+y-z-u=0 (*3)

(*1)+(*2)より x+z=0　⇒　z=-x (*4)
(*1)+(*3)より x+y=0　⇒　y=-x (*5)
(*2)-(*3)より y-z=0　⇒　z=y これは(*4),(*5)から成り立つ。
uには条件はない。以上より

v=[1 -1 -1 1]は,b,cに直交するベクトルの一つである。