気体を液体内に沈めるための仕事について

気体を液体内に沈めるための仕事について、次のように考えますが間違っていますか？

水のような液体の中で、容積可変の容器に封入された気体は、圧力が変わると体積が変化します。
温度が一定の場合、大気圧P0における体積 V0の気体 が密度ρの液体内で深さhの位置に
沈められると、その深さにおける圧力PはP0＋ρhとなるため、体積Vはボイルの法則から

V＝（P0*V0）／（P0＋ρｈ）　（式１　イメージ部分の式１参照）

となります。
となります。そして液体内の気体に働く浮力Fはその体積Vに比例した
F=ρVg g：重力加速度
となります。
この気体をその位置から深さh’だけ沈めるための仕事量Wは、浮力が一定すなわち体積が一定の場合は

W=Fh'

と表すことができますが、気体の体積が圧力の影響を受ける状態では浮力は
体積の変化に従って変化するため、仕事量を力と距離（深さ）の単純な積で
表すことができません。そこで浮力を、水深ｈの関数として表される体積で表し、
深さ方向に積分することで仕事量を求めると、浮力が水深を分母に持つ関数と
なるため積分結果は対数として表されます。
その結果、深さh0からh’だけ沈めるための仕事量は、

W=ρ*P0*V0*g*(log|P0+ρh0+ρh'|-log|P0+ρh0 |)　（イメージ部分の式２参照）

となると考えますが、いかがでしょうか。

フォントが選択できないため、添え字が本来の表記とは異なるものになってしまってすみません。
式１、式２はイメージをご参照ください。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/07/03 12:23

考え方の大筋はよいと思いますが、仕事の対象となる力は、浮力そのものではなく、「（浮力）－（自重による重力）」です。

　従って、気体の質量を m として

　　　W=(F - mg) * h'　　　（Ａ）

でしょう。この場合、F ≧ mg であることが必要。

　また、ｈに関する積分結果では、係数に「1/ρ」が抜けているように思います。

　（式2）は、上記（Ａ）を用いれば

　　　Ｗ = P0 * V0 * g * log[ 1 + ρ*h’/ (P0 + ρ*h0) ] - m*g*h’

になるかと思います。

この回答へのお礼

ご指摘いただきましてありがとうございました。
ご指摘の内容について、納得いたしました。

ただ、現実的には気体の比重が水などの液体に比べて無視できるほど小さいのと、沈める動作を非常にゆっくり（「準静的に」という表現が適切かわかりませんが。）動作させることを想定し、ご指摘のA式の括弧内のmgは「影響がないほど小さい」とさせていただきますので、ご了承ください。

本当にありがとうございました。

お礼日時：2015/07/04 00:38