未解決問題を解く努力に大きな意味があるかどうか、あらかじめ予想できるか？

Question

数学には、リーマン予想とかゴールドバッハ予想というような未解決問題が数多くあります。ある未解決問題が与えられたとき、それを解けば（あるいは解こうとする過程で）数学に大きく寄与する成果が得られそうか、それとも、その問題に特化して他にはインパクトが少ないものになりそうか、ということをあらかじめ予想できるでしょうか。

stomachman · Accepted Answer

仰る所の「未解決問題」ってのは、多くの人がチャレンジしても解けなかった問題という意味ですよね。

ある未解決問題を「予想」として仮定して様々な応用、定理、理論が展開されることがしばしばあります。リーマン予想は代表格ですね。問題の解決には「予想」の上に積み上げられたもの全ての価値が掛かっているわけだから、その重要性は言うまでもない。ただし、解決できたら、ということであって、努力だけじゃな。

そいういう背景と切り離して考えるとどうか。難問は、問題を限定して解くのが堅実なアプローチである。（たとえば４色問題ならトーラス上の７色問題を考えるとか。）大抵、その延長では元の問題は解けない。しかし無駄ではなくて、問題の難しさの本質を洗い出す役に立つし、それ自身で応用を持つ場合も多々あります。
　一方、問題を一般化して解くアプローチは解決に繋がりうる。ですから、「未解決問題」はいろんな一般化が検討されている。当然、「これが問題の本質だ」という所を見据えて一般化する訳です。でも、それでも解けないから「未解決問題」である。
　要するに、普通のアプローチはやり尽くされている。これが解けるとしたら、何か普通でないやりかたをするしかない。普通でないということは、そのための道具がないってことですから、道具の整備から始める必要がある。４色問題の場合なら、グラフの有限集合に関する命題に帰着するまでの所がその仕事です。
　で、その道具や着想が他の問題に寄与しそうかどうか。応用は全くないと言われていても、これまでにない考え方や道具が、すぐにではないにしても、いずれ何かと関係を持つことは結構多い。
　もちろん、それは当の道具が結果的に解決に繋がった場合の話であって、オカドチガイのところをホジクってピンボケの道具を拵えてみても、忘れ去られるだけでありましょう。でもこれは結果論に過ぎない。「解こうとする過程」という段階では、やってることがピンボケなのかピンポイントなのかが分からん訳で、一生を棒に振る覚悟を支える役には立たんだろう。
　というわけで、努力が成功すれば意味はある。成功に至らないなら、いずれは何らかの意味があるかも知れないし、ないかも知れない。

lupan344 · Answer

基本的には、予測不可能なんじゃないでしょうか？（問題自体が他の問題の解決につながる場合を除きます）
ほとんど、他の問題と関連性の無い問題解決として有名なのは、四色問題ですが、あの解決方法自体はある意味衝撃でしたけどね。（可能な組み合わせをコンピューターですべて確認すると言う解決方法）
難問の場合は、他の問題を誘発する場合はありますが、最初からそれがわかっていれば、他の問題も提示されているでしょう。

tknakamuri · Answer

フェルマーの定理があんな展開になるなんて、当初は予想されていなかったでしょうね。

carkurui2020 · Answer

予想できなくてもやり抜いた結果が
今に引き継がれています。

未解決問題を解く努力に大きな意味があるかどうか、あらかじめ予想できるか？

仰る所の「未解決問題」ってのは、多くの人がチャレンジしても解けなかった問題という意味ですよね。

基本的には、予測不可能なんじゃないでしょうか？（問題自体が他の問題の解決につながる場合を除きます）

フェルマーの定理があんな展開になるなんて、当初は予想されていなかったでしょうね。

予想できなくてもやり抜いた結果が

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