人に聞けない痔の悩み、これでスッキリ >>

タイトルの論理が理解できません
どうしてこうなるのですか?
分かりやすく説明してください・・・orz

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (4件)

「ベン図を書けばわかります」というのが、まあ、回答ではあります。



これ、いろいろな意味でわかりにくいのは確かです。日常的には、「ならば」と「または」は、使い方が全然違いますから。
あと、日常的に、「PならばQ」は、「PでないならばQでない」という意味を含んでしまいやすいので、これも間違いの元ですね。
※数学的には、「PならばQ」と「PでないならばQでない(これは、元の命題の裏命題)」は、同じとは限りません。

さて、日常的に言えば、
「お手伝いをする ならば 100円あげよう」
ということで、これが「真」とします。
裏命題は、
「お手伝いをしない ならば 100円はあげない」
です。
これは、一見元の命題と同じ事を言っているように見えます。
しかし、「お手伝いはしてないけど、今日は、たまたまお小遣いをもらう日」だったかもしれません。
だから、「お手伝いをしてないけど 100円あげる」というのは、間違いとは限りません。

はっきり間違いなのは、「100円もらってないけど、お手伝いをした」ときだけです。

だから、P ならば Q が真の時、「(Qでない) かつ P」は偽になります。
(「お手伝いをしたら100円あげる」が真の時、「100円もらってない、かつ、お手伝いをした」は偽です)

一方、PならばQが、偽の時、「(Qでない)かつ P」真になります。
(手伝いをしたら100円あげるといって、「だます」つもりだったら、「100円もらってない、かつ、お手伝いをした」のは、うまくだまされてしまったことで、真です)

ということで、
「PならばQ」と、「(Qでない)かつP」は、「反対」ということになります。
(第一ステップ)

つまり、「PならばQ」と「(Qでない)かつP」の否定 が同値になります。
言い換えると、「(Qでない)かつP」の否定は、「Qまたは(Pでない)」です。
(最後は、ドモルガンの法則)
    • good
    • 2
この回答へのお礼

そういうアプローチからの証明もありですね・・・。
勉強になりましたねぇ、、、

お礼日時:2015/07/28 21:38

だって定義なんだもん。

    • good
    • 0
この回答へのお礼

その理由はあんまりっす笑

お礼日時:2015/07/29 22:37

整数と自然数の関係は分かりますか。

整数は-1,0、1,2、3....です。
自然数は1,2,3・・・・です。
自然数ならば整数ですよね。
自然数でない数を考えるとマイナスの整数、1/3等の有理数、πや√2等の無理数、複素数などがあります。
即ち自然数の集合は整数の集合の中に含まれます。
自然数でないと言うことはマイナスの整数かもしれないし、無理数や、複素数であるかもしれないのです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

なるほど、、、分かりやすいたとえですね。
結果的にベン図を描くのが一番わかりやすかったですが、理解の足掛かりになりました!ありがとうございます!

お礼日時:2015/07/28 21:42

PならばQ





Pという前提が成立つならばQは真
Pという前提が成立たないならば、Qは真でも偽でも構わない。

という意味。つまりpが偽ならば 「PならばQ」は真
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Qp⇒q=(¬p)∨qについて

p⇒qは理解できるのですが(真理表も)、なぜこの定義が(¬p)∨qなのかさっぱりわかりません。

真理集合も違うのではないかとも思います。

よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

「 p ならば q である 」という文章を、次のとおりに書き換えても不自然ではありません。
「 p であるならば必ず q である 」
 書き換えられたこの文章を、さらに書き換えることにします。次のとおりに書き換えても不自然ではありません。
「『 p であるにもかかわらず q でない 』ということはない 」
 書き換えられたこの文章を、さらに書き換えることにします。次のとおりに書き換えても不自然ではありません。
「『 p であって q でない 』ということはない 」

 よって、p ⇒ q = ¬(p ∧ ¬q) と定義しても不自然ではありません。
 ド = モルガン の法則より、¬(p ∧ ¬q) = ¬p ∨ ¬¬q = ¬p ∨ q
 よって、p ⇒ q = ¬p ∨ q

 上記のような感じでかつて教わったという記憶が、私にはあります。記憶ちがいでしたら、ごめんなさい。

Q命題「PならばQ」でPが偽ならば、命題は真?

命題「PならばQ」で、Pが偽のとき、Qの真偽に関わらず
「PならばQ」が真になるのが、納得できません。

よい説明がありましたらお願いします。

Aベストアンサー

これはすでに語り尽くされた問いで,この問いへの答えだけで本が1冊書けてしまう… というのは決して誇張ではなく,

鈴木登志雄(著)「論理リテラシー」培風館

という本はまさに「この問いへの答え」を1冊の本にしてしまったようなものです.

私としては次のように答えておきます.

(1) Pが偽のとき,「PならばQ」は『真になる』のではなく,『真とする』のです.つまり,「PならばQ」という命題の真偽をそのように『定める』のが,数学の世界で合意された約束事です.
(2) なぜそのように定めるのかという理由は,
-- 数学の論理を理論化して形式的に扱えるようにする
-- そのうえで,数学の論理で通常用いられる「ならば」という語と折り合いをつける
ためには『そのように定めるのが都合がよい』からです.
(3) なぜそのように定めると都合がよいのか? この段階で,いろんな説明が試みられています.でも,それを心底『納得』するには,たぶん,自分自身で数学の論理を扱う経験を重ねることで,「数学の論理とは何か」を洞察できるだけの成熟した理解に達する必要があるでしょう.
(4) (数学以外の文脈で用いられる)日本語の「ならば」とどうやって折り合いをつけるのか? これは数学というより文学の問題で,前掲の鈴木登志雄氏の書をじっくり読んでください.

これはすでに語り尽くされた問いで,この問いへの答えだけで本が1冊書けてしまう… というのは決して誇張ではなく,

鈴木登志雄(著)「論理リテラシー」培風館

という本はまさに「この問いへの答え」を1冊の本にしてしまったようなものです.

私としては次のように答えておきます.

(1) Pが偽のとき,「PならばQ」は『真になる』のではなく,『真とする』のです.つまり,「PならばQ」という命題の真偽をそのように『定める』のが,数学の世界で合意された約束事です.
(2) なぜそのように定めるのかという理由...続きを読む

Qpならばqである の否定について

「pならばqである」を否定すると
「pかつ¬q」となると思いますが
この「pかつ¬q」というのは
「pならば¬qである、または、¬qならばpである」ということでしょうか?

Aベストアンサー

「ならば」の意味を国語的に考えないで、計算に持ち込むべき
であることは、前回質問のときにコメントしました。

で、論理式を計算してみましょう。
「pならば¬qである、または、¬qならばpである」を
そのまま式にすると、(p⇒¬q)∨((¬q)⇒p) です。
(p⇒q) = (q∨¬p) を使って変形すると…

(p⇒¬q) ∨ ((¬q)⇒p)
= ((¬q)∨¬p) ∨ (p∨¬¬q)
= (¬q) ∨ (¬p) ∨ p ∨ q
= p ∨ (¬p) ∨ q ∨ (¬q)
= 真 ∨ 真
= 真

この論理式は、恒真です。
「pかつ¬q」とは、だいぶ違うようですよ。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q「pならばq」を p>q と表す理由

A命題のベン図は、「pならばq」のベン図と同じで、
p>qのように表すと教わったのですが、
高校の時に習った、包含関係からすると
p<qの向きが正しい気がするのですが…。
なんで、「pならばq」はp>qと表すんでしょうか??

Aベストアンサー

記号が不等号と同じになっているのが、疑問のもとになっています。数学での記号は、定義されていれば何でもよいのですが、混同を避けるために別の記号を使います。「pならばq」は、p→qと書くほうが、普通です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q真理値表の¬P∨QとP⇒Qについて

(1)¬P∨QとP⇒Qが同値というのは、理解できます。
(2)¬P∨Qの場合の真理値表も同様に理解できます。
(3)しかし、P⇒Qの場合については、理解できません。
  PがFの場合は、Qはどちらともいえないとするのがもっとも現実に即しているように思うのです。

一体どこがおかしいのでしょうか?
私の感覚ですか?
それとも真理値表を定めるにあたって、何かルールを導入したために、日常の感覚から乖離してしまったのですか? だとすれば、それはどのようなルールなんでしょうか?
二値論理というルールがあることについては調べましたが、それだと(1)が矛盾してしまうのですが。
(1)(2)(3)全てを矛盾無く収める事ができません。
どうかご教授ください。

Aベストアンサー

> PがFの場合は、Qはどちらともいえないとするのが
> もっとも現実に即しているように思うのです。
の「現実に即している」という評価は、貴方の主観です。
正しいか間違っているかの話ではない。
「真」「偽」の他に「どちらともいえない」という真理値
を含む論理系で議論がしたければ、そうすればよい。
「直観主義」と呼ばれる数学の一派では、そうしています。
参考→ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9

直観主義論理は、カントールからゲーデルにかけての所謂
「数学の危機」の時代には、一時隆盛しましたが、今では、
数学基礎論をやる人も少ないので、あまり話題になりません。
思想的哲学的な価値はともかく、実際に数学を行う上では
ずいぶん不便な代物ですから。

我々が日常に扱う、排中律のある数学では、
(1) が ⇒ の定義そのものであり、
(3) は気の迷いとして忘れるべきものです。
貴方が排中律を捨てて、直観主義を採用するのは自由です。
ただ、二値論理の人とは話が合わなくなるだけです。

> PがFの場合は、Qはどちらともいえないとするのが
> もっとも現実に即しているように思うのです。
の「現実に即している」という評価は、貴方の主観です。
正しいか間違っているかの話ではない。
「真」「偽」の他に「どちらともいえない」という真理値
を含む論理系で議論がしたければ、そうすればよい。
「直観主義」と呼ばれる数学の一派では、そうしています。
参考→ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9

直観主義論理は、カントールからゲー...続きを読む

Q全ての実数xに対して、・・・

教えてください。数学が苦手です。詳しく解説してくださる方、お願い致します。

問題
(1)全ての実数xに対して、
1=a(x-1)+b(x-2)
が成り立つように、定数a,bを定めよ。

(2)1,2以外の全ての実数xに対して、
1/(x-1)(x-2) = a/x-2 ;+ b/x-1
が成り立つように、定数a,bを定めよ。

(3)1,3以外の全ての実数xに対して、
2/(x-1)(x-3) = 1/x-3 - 1/x-1
が成り立つことを確かめよ。

(4)1,2,3以外の全ての実数xに対して、
2/(x-1)(x-2)(x-3) = a/x-1 + b/x-2 + c/x-3
が成り立つように、定数a,b,cを定めよ。


途中の基本的な考え方とかも書いていただけるとうれしいです。
解説いただけるかたのみ、コメントお願いいたします。

Aベストアンサー

(1)
「すべての実数xが満たす」というときは
一般的な解答はまずは次数を揃えます=xでくくります
1=a(x-1)+b(x-2)
(a+b)x+(a-2b-1)=0
あとは連立方程式で解くだけですので
a+b=0 a=-b・・・(1)
a-2b-1=0 (1)を代入して -3b=1 b=-1/3 a=1/3 となります
(2)
1/(x-1)(x-2) = a/x-2 + b/x-1 の場合も同じで
「1,2以外の全ての実数xに対して」の部分は左辺の分母が0になることを防いでいるだけなのであまり気にしません
両辺に(x-1)(x-2)を掛けると
1=a(x-1)+b(x-2) となり(1)とまったく同じ式になります
よって答えは a=1/3 b=-1/3
(3)
基本的に行程は(2)と変わりません
2/(x-1)(x-3) = 1/x-3 - 1/x-1
両辺に(x-1)(x-3)を掛けて左辺=右辺を調べればいいので
左辺=2
右辺=(x-1)-(x-3)=2
(4)
2/(x-1)(x-2)(x-3) = a/x-1 + b/x-2 + c/x-3
掛けるものが増えただけなので
両辺に(x-1)(x-2)(x-3)を掛けて
2=a(x^2-5x+6)+b(x^2-4x+3)+c(x^2-3x+2)
展開してx^2,xでくくると
(a+b+c)x^2-(5a+4b+3c)x+(6a+3b+2c-2)=0
あとは三元1次方程式をときます
途中計算は長くなるので少し省略します
a+b+c=0・・・(1)
5a+4b+3c=0・・・(2)
6a+3b+2c=2・・・(3)
(2)、(3)より
-a+b+c=-2・・・(4)
(1)、(4)より
2a=2 a=1
それぞれを代入して
(1)、(2)より
3b+2c=-4・・・(5)
(1)、(3)より
2b+c=-3・・・(6)
(5)、(6)より
b=-2 c=1

すなわちa=1,b=-2,c=1 となります
急いで書いたので計算ミスはお許し下さい

(1)
「すべての実数xが満たす」というときは
一般的な解答はまずは次数を揃えます=xでくくります
1=a(x-1)+b(x-2)
(a+b)x+(a-2b-1)=0
あとは連立方程式で解くだけですので
a+b=0 a=-b・・・(1)
a-2b-1=0 (1)を代入して -3b=1 b=-1/3 a=1/3 となります
(2)
1/(x-1)(x-2) = a/x-2 + b/x-1 の場合も同じで
「1,2以外の全ての実数xに対して」の部分は左辺の分母が0になることを防いでいるだけなのであまり気にしません
両辺に(x-1)(x-2)を掛けると
1=a(x-1)+b(x-2) となり(1)とまったく同じ...続きを読む

Q逆元の計算方法

逆元を計算するのにユークリッドの互除法というのでできると聞きました。
でも、ユークリッドの互除法っていうのは最大公約数を求めるのに使うのですよね?どうやって逆元を求めるんですか?たとえば、13を法としたとき5の逆元はどうやって求めるのですか?

Aベストアンサー

ここで言う逆元とは、おそらく「乗法の」逆元のことですね?
ご質問で出された例で言えば、
5y ≡ 1(mod 13)となるyを求めよ、という意味だと思います。
この場合なら逆元は8で、
5×8 = 40 = 13×3 + 1 ≡ 1(mod 13)となっています。
すなわち、13p + 5q = 1となる整数p,qを
一組求めれば、そこから逆元は求まります。

いま、便宜的に「13×● + 5×▲」の形を
「基準形」と呼ぶことにします。
目標は「『1』を基準形に書き直す」ことになりますね。

これを行なうにあたってEuclid互除法がどのように役立つのか?
まず13と5に対し互除法を実行してみます。
13 ÷ 5 = 2 余り 3
5 ÷ 3 = 1 余り 2
3 ÷ 2 = 1 余り 1
というふうに、13と5は互いに素ですから、
「余りが1になる」まで行き着きます。

さて、上の式たちを「余り = ……」の形に書き換えると
(a) 3 = 13 - 5×2
(b) 2 = 5 - 3×1
(c) 1 = 3 - 2×1
となります。(a)を見ると、
「『3』が基準形に書き直されたもの」
と見ることができます。
すると、これを(b)に代入すれば
(b')2 = 5 - (13 - 5×2)×1 = 13×(-1) + 5×3
と、『2』も基準形に書き直されました。
さらに(a)と(b')を(c)に代入すれば
1 = (13 - 5×2) - [13×(-1) + 5×3]×1
= 13×2 + 5×(-5)
と、ついに『1』が基準形で表されたことになります。

以上より、5×(-5) ≡ 1(mod 13)
したがって「y = -5 + 13n」の形をしたものはすべて
5y ≡ 1(mod 13) を満たします。
n = 1とすれば逆元8が求まります。

もう1つだけ例題をやってみましょう。
「31を法とする12の乗法の逆元は?」
▼印は基準形で書かれた箇所です。
(解)互除法にて
31 = 12×2 + 7
12 = 7×1 + 5
7 = 5×1 + 2
5 = 2×2 + 1
すなわち
(a)7 = 31 - 12×2▼
(b)5 = 12 - 7×1
(c)2 = 7 - 5×1
(d)1 = 5 - 2×2
(a)を(b)に代入して
(b')5 = 12 - (31 - 12×2) = 31×(-1) + 12×3▼
(a)(b')を(c)に代入して
(c')2 = (31 - 12×2) - [31×(-1) + 12×3]×1 = 31×2 + 12×(-5)▼
(b')(c')を(d)に代入して
1 = [31×(-1) + 12×3] - [31×2 + 12×(-5)]×2 = 31×(-5) + 12×13▼
したがって12×13 ≡ 1(mod 31)すなわち逆元は13となります。

参考URL:http://www.nara-edu.ac.jp/~asait/c_program/sample/euclid.htm

ここで言う逆元とは、おそらく「乗法の」逆元のことですね?
ご質問で出された例で言えば、
5y ≡ 1(mod 13)となるyを求めよ、という意味だと思います。
この場合なら逆元は8で、
5×8 = 40 = 13×3 + 1 ≡ 1(mod 13)となっています。
すなわち、13p + 5q = 1となる整数p,qを
一組求めれば、そこから逆元は求まります。

いま、便宜的に「13×● + 5×▲」の形を
「基準形」と呼ぶことにします。
目標は「『1』を基準形に書き直す」ことになりますね。

これを行なうにあたってEuclid互除法がどのように役立つ...続きを読む


人気Q&Aランキング