袋に入っている1から300までの番号がついているボール300個から無作為に20個をとりだしました。その20個の番号を覚えておき、袋へ戻し、また20個とりだしました。
(1)1回目と2回目でとりだした20個に含まれる同じ番号のボールが7個である確率は?
(2)1回目と2回目で番号が一致するボールの数の期待値は何個?

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A 回答 (8件)

「難しく考えすぎ」とおっしゃるあなた、そう言う発言は(2)の答えを出してからにしていただきたいと思います。



それはさておきq=91264のstomachmanさんの回答で解決しました。stomachmanさんに感謝!

求める式は
E(N,n) = n^2/N    …(i)
です。

E(N,0) = 0, E(N,1) = 1/Nである事は既に述べました。
ここで
F(N,n) = Σ(k=0~n) nCk (N-n) * C(n-k) /NCn = 1    (ii)
これはF(N,n)が全ての事象の確率の和である事を考えれば自明です。

さて、あるN,nについて(ii)が成り立っているとします。この時
    E(N+1,n+1) = Σ(k=0~n+1) k * (n+1)Ck * (N+1-n)C(n+1-k) / (N+1)C(n+1)
        = Σ(k=1~n+1) k * (n+1)Ck * (N-n)C(n+1-k) / (N+1)C(n+1)
        = Σ(k=0~n) (k+1) * (n+1)C(k+1) * (N-n)C(n-k) / (N+1)C(n+1)
        = Σ(k=0~n) (k+1) * (n+1) / (k+1) * (n+1) / (N+1) * nCk (N-n) * C(n-k) /NCn
        = (n+1)^2/(N+1) Σ(k=0~n) nCk (N-n) * C(n-k) /NCn
        = (n+1)^2/(N+1)        ←(ii)より
よってE(N+1,n+1)においても(i)が成り立ちます。

(ii)は任意のN≧n≧k≧0について成り立つので(i)が成り立つ事が証明されました。

一見帰納法のように見えて実は違います。何故なら証明においてあるN,nにおいて(i)が成り立つ事を使ってないからです。
ま、んなことはどうでもいいのですが、これでこの設問は完結です。
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この回答へのお礼

taropooさん、hikaru_nijinoさん、masuo_kunさん、nagataさん、shushouさん、回答どうもありがとうございました。
期待値が
E(N,n) = n^2/N
というきれいなものになるのはちょっと感動しました。
これからもよろしくお願いします。

お礼日時:2001/06/18 21:18

難しく考えすぎのような気がします



もともと、この問題では、番号は無意味だと思います

よって、簡単に300個のボールの中に20個色のついたボールがあり

そこから20個ボールを取った時に色つきが何個かと言う問題です

まず、1個も色つきが出ない確率は

(280/300)*(279/299)*………*(261/281)です

1個色つきが出る確率は
その1個が最後に出ると仮定して
(280/300)*(279/299)*………*(262/282)*(20/281)
です

どこにその一個が出ても同じなのでそれを20倍します
(280/300)*(279/299)*………*(262/282)*(20/281)*20

次に2個出る確率は同様に最後の2個で計算し
(280/300)*(279/299)*………*(20/282)*(19/281)

20個の中の2個なので20*19/2で190通りなので190をかけて
(280/300)*(279/299)*………*(20/282)*(19/281)*190

……

7個の場合は後ろの7個が色付と考え
(280/300)*(279/299)*(278/298)*……(15/282)*(14/281)

20個の中の7個なので20*19*17*16*15*14*13/(2*3*4*5*6)

これを掛け合わせて

答えとなります
難しそうですが、シグマで書くと簡単です

0個のときから20個の時のおのおのの確率より

期待値を算出すると

面倒だからやめます
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>masuo_kun様


帰納法で出来るとするとN>=nを仮定する必要が出てくるような場面が出てくるのではないかと想像してます。
ただ、敗軍の将、兵法を語るべからずで、帰納法にいき詰まりを感じている今、別解法を模索中です。

masuo_kun> k=0からではなく、k=MAX(2n-N,0)からだと思います。
についてはコンビネーション(C)ではなく括弧の中に数字を縦に2つ並べた「2項係数」に置き換える事で解決すると思います。
2項係数では下の数字が負の時、その値を0と定義していたと思います。
4C7=4C(-3)なので2項係数で表せば0となります。
ここでは書きづらいのでコンビネーションを使っていますが。
要は4C7みたいな変な奴は0と定義しましょうと言う事です。

masuo_kun> さてさて、ここからが工夫のしどころで、
これにはちょっとはっとさせられる物がありました。ひょっとしたら糸口になるかもしれませんね。
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私も直感ではn^2/Nなのではないかと思ってはいるのですけど…


(m回やったときの期待値は n^m/N ????)

>taropooさんへ
帰納法で示すということは、全てのnで成り立つことを示すということですよね。
明らかにN<nとなったときはまずいんですから、
帰納法以外の方法をとるべきだと思いますがどうでしょう?
自信がないまま、単純なことから発生した疑問ですが…

また、具体的なやつで考えたんですけど、
P(N,n,k) = nCk * (N-n)C(n-k)/NCn
N=11、n=7 とすると、k=0のときに
7C0*4C7となり公式に不具合が生じます。
実は、N-n<n-kも含むので、この部分では0ですから、
k<2n-N のときは確率0です。
だから、正確な一般公式は、
k=0からではなく、k=MAX(2n-N,0)からだと思います。

起きうる範囲では、この公式は成立するので、
これは使わせてください。
NCnはkによらない定数なので、後でまとめて割ることにします。
本論では300と20の関係から、上のような不具合は生じません。
さて、問題の設定をとっても簡単にしてみます。

では、話を簡単にしてN=11、n=4 のときをやってみます。
後でまとめてNCn=11C4=330で割ることにします。
k=0 のとき、分子=4C0*7C4=35
k=1 のとき、分子=4C1*7C3=140
k=2 のとき、分子=4C2*7C2=126
k=3 のとき、分子=4C3*7C1=28
k=4 のとき、分子=4C4*7C0=1

さてさて、ここからが工夫のしどころで、
1+28+126+140+35=330=11C4
(一般でもこの工夫はできるようです。)
期待値ですが、4*1+3*28+2*126+140
これを、次のように分解します。
1+28+126+140
1+28+126
1+28

以上の和

1+1+28=30より、1+28+126から5を借りて
1+28+126+140+35=330 ←きっとこれを使うのではないかと思う。
1+28+121=150
よって、求める期待値は 1+150/330=1+5/11=16/11


n^2/Nは、N=11、n=4でも成り立ちます。
上のような工夫をすれば、できるんじゃないかと思いますが、
昼休みが終わってしまうのでこの辺で。

正しいことですか・・・難しいなあ・・・
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早速ギブアップです。

(根性ね~)

考えたのはこうです。

袋に入っている1からNまでの番号がついているボールN個から無作為にn個をとりだし、そのn個の番号を覚えておき、袋へ戻し、またn個とりだす。
1回目と2回目でとりだしたn個に含まれる同じ番号のボールがk個である確率はをP(N,n,k)とすると
    P(N,n,k) = nCk * (N-n)C(n-k) / NCn    …(i)
この時1回目と2回目で番号が一致するボールの数の期待値をE(N,n)とすると
    E(N,n) = n^2 / N        …(ii)
よってN=300, n=20を代入して、求める答えは20^2/300 = 4/3となります。

(ii)となる理由ですが以下のように証明するつもりでした。

----------------------------------------------------------------------------
(i)より期待値E(N,n)は
    E(N,n) = Σ(k=0~n) k * P(N,n,k)    …(iii)

1.n=0の時
(iii)よりE(N,0) = 0、これは(ii)を満たす。

2.n=1の時
(iii)より
    E(N,1) = 0 * P(N,1,0) + 1 * P(N,1,1) = 1C1 * (N-1)C(1-1) / NC1 = 1/N
これも(ii)を満たす。

3.あるnについて(ii)が成り立っていたとする。即ち、
    E(N,n) = Σ(k=0~n) k * P(N,n,k) = n^2 / N
とする。この時、
    E(N,n+1) = Σ(k=0~n+1) k * P(N,n+1,k)
        = Σ(k=0~n+1) k * (n+1)Ck * (N-(n+1))C((n+1)-k) / NC(n+1)
        = Σ(k=1~n+1) k * (n+1)Ck * (N-(n+1))C((n+1)-k) / NC(n+1)    ←k=0の時は0だから
        = Σ(k=0~n) (k+1) * (n+1)C(k+1) * (N-(n+1))C(n-k) / NC(n+1)   ←kを1つずらした
        = …
----------------------------------------------------------------------------

この考えを推し進めて行くと
    E(N,n+1) = ((n+1)/n)^2 E(N,n) = (n+1)^2/N     …(iv)
よって数学的帰納法により(ii)が証明される事になるはずでした。

が、どう頑張っても(iv)が導き出せません。

と言うわけで情けなくもギブアップです。誰か(ii)を証明してください。
(ii)が正しい確信は持ってます。よろしく。
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(2)の答えは4/3です。



理由は考え中。
なぜ4/3だと思ったか。実は経験則です。
300個とか20個とかじゃなく一般的にN個の中からn個を選び出す場合に同じボールがk個あった時にどうなるかなーって色々計算してたら
期待値があるとってもシンプルな式で表される事に気付いたんです。
その式と証明については乞うご期待と言う事で。(いつまでかかる事やら。。。)

そのうちギブアップして誰かにディスパッチするかも。
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(1)一回目に引いたボールが20個、引かなかったボールが180個あります。


2回目では1回目に引いた20個のボールの中から7個、引かなかったボール180個
のボールの中から14個引いたわけです。つまり
20個の中から7個選び、かつ180個の中から14個選ぶ選び方を考えれば良いわけです。
場合の数が求まれば確率を求めるのは簡単だと思います。

(2)1回目と2回目で番号がn個一致する場合の数は、
20個の中からn個を選び、180個の中から20ーn個選ぶ場合の数を数えれば良いわけです。
1回目と2回目でn個一致する確率をPnとすると期待値はΣ(0<=n<=20)n*Pnで求まります。
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(1)について


まず覚えた20個の番号を1,2,3,...,20であるとします。
そうなる確率は1/300C20ですね。
(aCbはa個のものからb個のものを選ぶ場合の数です。)
で、2回目でとりだした20個に含まれる同じ番号のボールが7個である確率は
20C7×280C13/300C20
となります。またおぼえる20個の番号の選び方は300C20通りあるので、結局
(1/300C20)×(20C7×280C13/300C20)×(300C20)
=20C7×280C13/300C20
が求める確率となります。

(2)について
同様に1回目と2回目で番号が一致するボールの数がk個である確率は
20Ck×280C(20-k)/300C20
ですから,後は期待値の定義に従って求めればよいと思います。
が、この計算めんどうで...私にはどうやったらうまくいくか
わかりません。
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