マンガでよめる痔のこと・薬のこと

(問題)
実数x、yがx^2+y^2=1①を満たすとき、x^2+4yの最大値、最小値はいくつか。
また、その時の(x,y)を求めよ。
(疑問)
x^2+4y=k②として、x^2=k-4yを①に代入して、
y^2-4y+k-1=0③が実数解をもつ条件を求めましたが、
③が実数解yを持っても②が実数xを持つとは限らないことがわかり、その実数条件を考えました。しかし、k-4y≧0ではパラメーターが入っているので、②を①に代入する方法では解けないと思いました。
①をx^2=1-y^2として、②に代入し、ー1≦y≦1(①の実数条件)に実数解をもつ条件を求めましたがこれは正解でした。
②を①に代入するという方法では解けないのでしょうか?

A 回答 (4件)

x=cosθ, y = sinθ とすると (cosθ)^2 + 4sinθ=1-(sinθ)^2+4sinθ



なので -1<= t <= 1 の範囲で f(t)=1 - t^2 + 4t の最大値を最小値を求めればよい。

df(t)/dt = -2t + 4 >= 0 だから、fは単調増加関数。
従って t=-1 で最低、t=1で最大だから

最小: f(-1)=-4, 最大: f(1) = 4

t=sinθ=y だから、最小の時 y = -1, x = 0, 最大の時 y = 1, x = 0;

数3ならこれがベストかな。

理系の大学の数学ならラグランジュの未定乗数法が使えます。
関数の独立変数の束縛条件が直接的に扱えるのでずっと楽になります。
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x = cosθ, y= sinθ


とすると、
  f(θ) = ((cosθ)^2) + 4sinθ
の最大値と最小値は、グラフを描くだけで4と-4だとすぐ分かる。

 というのはさておき、ご質問の話。
  k = x^2 + 4y
として、
  x^2 = k - 4y
を使って、
  y^2 - 4y + (k - 1) = 0
としてみたわけですね。で、これがyの方程式として実解を持つkの範囲の上限と下限で答を出そうと考えた。ま、この式を見ただけで、kの上限と下限の両方ともいっぺんに出る訳がないじゃん、と気づかなきゃいかんのですけど、実際、判別式Dが
  D/2 = (4 - (k-1)) = 5 - k
になるから
  5≧k
しか出てこない。

 何がまずいかというと、yが実数ってだけじゃ駄目で、x,yがx^2+y^2=1を満たす実数であるという条件が(当然)必要である。と、ここまでは自力でやったんですよね。


x,yがx^2+y^2=1を満たす実数であるってことは、言い換えれば実解yが
  |y|≦1
である、ということ。すると解
  y ∈{2+√(5-k), 2-√(5-k)}
のうち、2+√(5-k)は即、落第である。そこで
  5≧kかつ|2-√(5-k)|≦1
となるkの範囲を考えればよろしい。絶対値をはずせば
  5≧k かつ 2-√(5-k)≦1 かつ -2+√(5-k)≦1
移項して
  5≧k かつ1≦√(5-k) かつ √(5-k)≦3
2乗して
  5≧k かつ1≦5-k かつ 5-k≦9
再び移項して
  5≧k かつk≦4 かつ -4≦k
ってことで、めでたく答が出ます。
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①は円、②はy=(k-x^2)/4であって、kをパラメータとするy軸対称の放物線ということが和解ますか。

kを変えて放物線を動かしながら考えれば一目瞭然でしょう。k=-4で円の下端で放物線の頂点と接します。k=0で放物線の頂点がx軸に接します。k=4で放物線の頂点と円の上端が接します。
もう少し放物線を上にあげて左右対称な点で放物線と円が接するところが共通点を持つ最後の状態で
y^2-4y+k-1=0について
D/4=4-(k-1)=0 ⇒ k=5

答え x^2+4y=kの最大値は5、最小値は-4
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(3)をつかって


k-4y≧0
のkを消去。
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